Модель распределенных лагов

Модель распределенных лагов используется для построения регрессии между временными рядами y(t) и x(t). Особенность такой регрессии состоит в том, что зависимая переменная y(t) учитывает не только текущие значения независимой переменной x(t), но и ее предшествующие значения:

y(t) = c + c₀  x(t) + c₁ x(t – 1) + … +c_k  x(t – k) + (t) (9.1)

Модель (9.1) применяется в тех случаях, когда на значения переменной y(t) существенно влияют лаговые переменные x(t – 1), x(t – 2),…, x(t – k). Принято, что случайная составляющая (t), входящая в (9.1), предполагается такой, что

M((t)) = 0; D(((t)) = ² = const > 0, (9.2)

а случайные величины (t₁), (t₂),…, (t_n), взаимно независимы и имеют нормальное распределение. Эти условия соответствуют основным предположениям МНК, что дает возможность применить регрессионный анализ.

Коэффициенты с, с₀, с₁, …,с_k являются параметрами модели и должны вычисляться по набору данных. Модель (9.1) позволяет прогнозировать значения y(t) на несколько шагов вперед на основе ранее полученных значений лаговых переменных.

Работа с моделью (9.1) включает несколько этапов. Первый из них предполагает содержательный анализ данных, в том числе и графический. На этом этапе необходимо решить вопрос о длине лага (параметр k). Второй этап связан с оценками коэффициентов выбранной модели. Третий этап предполагает интерпретацию полученных оценок коэффициентов модели. Пусть в модели (9.1) все найденные коэффициенты имеют одинаковые знаки. Тогда модель допускает четкую интерпретацию, состоящую в том, что переменная x(t) оказывает влияние на переменную y(t) и это влияние распространяется на определенный период времени. Здесь также используются такие понятия как средний и медианный лаг. Коэффициенты модели интерпретируются как мультипликаторы.

Если коэффициенты будут иметь различные знаки, то возможно, что модель (91.) или ее порядок выбраны неудачно, либо взаимосвязь между y(t) и x(t) имеет достаточно сложный характер, который нужно дополнительно изучать.

Оценки параметров модели таковы:

b₀ = c = 0,021187;

b₁ = c₀ = 4,461027;

b₂ = c₁ = 4,19125;

b₃ = c₂ = 2,158897;

b₄ = c₃ = 1,170873.

Поскольку все коэффициенты больше нуля, можно сделать вывод, что переменная x(t) оказывает влияние на переменную y(t). Из результатов видно, что влияние лаговых переменных на y(t) уменьшается с увеличением величины лага. Иначе говоря, расходы на рекламу в предшествующие месяцы оказывают все меньшее воздействие на объем продаж в текущем месяце.

№14

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

В связи с отмеченными свойствами адаптивные методы можно рассматривать как эффективное средство краткосрочного прогнозирования показателей, характеризующих развитие российской экономики. Указав основные характерные черты, присущие рассматриваемому подходу, следует отметить, что деление на адаптивные и неадаптивные модели в то же время носит достаточно условный характер. У истоков адаптивных методов находится модель экспоненциального сглаживания.

Предположим, что временной ряд может быть представлен в виде:

y_t =a₁ + _t,

где a₁ = const; _t – случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ².

Модель экспоненциального сглаживания ряда описывается следующей рекуррентной формулой:

S_t = y_t + S_t–1, (10.1)

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t;  – параметр сглаживания,  = const; 0 <  <1;  = 1 –.

Если последовательно использовать соотношение (10.1), то экспоненциальную среднюю S_t можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда.

Таки образом, экспоненциальная средняя может быть представлена в виде:

, (10.2)

где n – длина ряда; S₀ – начальное значение экспоненциальной средней.

Из (10.2) видно, что величина S_t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому модель (10.1) получила название модели экспоненциального сглаживания.

Например, пусть  = 0,1. Тогда все текущего наблюдения y_t будет равен 0,1; вес предыдущего уровня y_t–1 будет соответствовать  = 0,1  0,9 = 0,09; для уровня y_t–2 вес составит ² = 0,081; для y_t–3 – ³ = 0,0729 и т.д.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должна быть определена некоторая величина S₀, предшествующая S_t. Часто на практике в качестве начального значения S₀ используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (10.2) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S₀ погашается.

Рассмотрим выражение (10.2) при n  0. Очевидно, что ⁿ  0, следовательно,

, (10.3)

Автор модели Р.Браун показал, что математическое ожидание временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[S_t] будет меньше дисперсии временного ряда (²).

Представим выражение (10.3) в следующем виде:

.

Отсюда очевидно, что математическое ожидание M(S_t) = a₁, так же как и математическое ожидание самого временного ряда.

Дисперсия экспоненциальной средней D[S_t] определяется выражением:

.

Учитывая свойства _t, можно записать:

.

Таким образом,

(10.4)

Так как 0 <  <1, то D[S_t] меньше дисперсии временного ряда, равной ².

Из (10.4) видно, что при высоком значении  дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением  дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину  нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания  с учетом специфики решаемой задачи составляет важную часть исследования.

№15и 16

15 Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

16 Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

.

Набор факторов x_i в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора).

Примером такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели, характеризующие эффективность сельскохозяйственного производства: продуктивность коров, себестоимость 1 ц молока, а в качестве факторов – специализация хозяйства, количество голов на 100 га пашни, затраты труда и т.п.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

.

Система взаимосвязанных уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК не применим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

,

где y₁ – темп изменения месячной заработной платы; y₂ – темп изменения цен; x₁ – процент безработных; x₂ – темп изменения постоянного капитала; x₃ – темп изменения цен не импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде:

,

где В – матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y – вектор зависимых переменных; Г – матрица параметров при объясняющих переменных; Х – вектор объясняющих переменных; Е – вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид:

.

Матрица параметров при зависимых переменных является диагональной:

.

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид:

,

т.е. зависимая переменная y₁ первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная y₂ второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении. Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели составит:

,

т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида

,

получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных:

,

которая не является ни диагональной, ни треугольной. Соответственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем.

№17