Лаги Алмон

Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют также лагами Алмон, по имени Ш.Алмон, впервые обратившей внимание на такое представление лагов.

Формально модель зависимости коэффициентов b_j от величины лага j в форме полинома можно записать так:

b_j = c₀ + c₁  j + c₂  j² + … + c_k  j^k

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.

1. Определяется максимальная величина лага l.

2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.

3. По соотношениям рассчитываются значения переменных z₀, ... , z_k

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии

5. С помощью соотношений рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Метод Алмон имеет два неоспоримых преимущества:

– он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов;

– при относительно небольшом количестве переменных в (11.15) (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

№11

Он предположил, что существует некоторый постоянный темп  (0 <  < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b₀ ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период t – 1, результат изменится на b₀   ед.; в период t – 2 – на b₀    ед. и т.д. Для некоторого периода t – l это изменение результата составит: b₀   ^l ед. В более общем виде можно записать:

(11.17)

Ограничение на значение  > 0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов b_j > 0, а ограничение  < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели (11.16) убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе  к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущее значение фактора x_t.

Выразим с помощью формулы (11.17) все коэффициенты в модели (11.16) через b₀ и :

y_t = a + b₀  x_t + b₀    x_t–1 + b₀  ²  x_t–2 + … + _t. (11.18)

Тогда для периода t – 1 модель (11.18) можно записать следующим образом:

y_t = a + b₀  x_t–1 + b₀    x_t–2 + b₀  ²  x_t–3 + … + _t–1. (11.19)

Умножив обе части уравнения (11.19) на , получим:

  y_t =   a + b₀    x_t–1 + b₀  ²  x_t–2 + b₀  ³  x_t–3 + … +   _t–1. (11.20)

Вычтем найденное соотношение (11.20) из (11.18):

y_t –   y_t = a –   a + b₀  x_t + _t –   _t–1. (11.21)

В результате преобразований (11.21) мы получаем модель Койка:

y_t = a  (1 – ) + b₀  x_t +   y_t–1 + u_t. (11.22)

где u_t = _t –   _t–1.

Полученная модель – это модель двухфакторной линейной регрессии (точнее – авторегрессии). Определив ее параметры, мы найдем  и оценки параметров a и b₀ исходной модели. Далее с помощью соотношений (11.17) несложно определить параметры b₁, b₂, … модели (11.16). Применив обычный МНК к оценке параметров модели (11.22), получим смещенные оценки параметров ввиду наличия в этой модели в качестве фактора лаговой результативной переменной y_t–1.

Описанный алгоритм получил название «преобразования Койка». Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные x_t и y_t–1.

Несмотря на бесконечное число лаговых переменных в модели (11.16), геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка. Поскольку сумма коэффициентов регрессии в модели (11.16) – это сумма геометрической прогрессии, т.е.

(11.23)

то средний лаг определяется как

(11.24)

Нетрудно заметить что при  = 0,5 средний лаг = 1, а при  < 0,5 средний лаг < 1, то есть воздействие фактора на результат в среднем занимает менее одного периода времени. Величину (1 – ) интерпретируют обычно как скорость, с которой происходит адаптация результата во времени к изменению факторного признака. Для расчета медианного лага необходимо выполнение следующего условия:

(11.25)

Поэтому медианный лаг в модели Койка равен (если ):

(11.26)

Таким образом, результаты, полученные по модели Койка, существенно отличаются от результатов по модели с распределенным лагом, что говорит о сложности изучаемого явления и неоднозначностью самих методов.

№12

Под коинтеграцией понимается причинно-следственная зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

Одним из методов тестирования гипотезы о коинтегpации временных рядов y_t и x_t является критерий Ингла-Грэнджера. Алгоритм применения этого критерия следующий.

1. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии коинтегpации между рядами y_t и x_t.

2. Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида

_t = a + b  _t–1.

где _t – первые разности остатков, полученных из соотношения

3. Определяют фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии а в уравнении

4. Сравнивают полученное значение с критическим значением статистики . Критические значения , рассчитанные Инглом и Грэнджером для уровней значимости 1; 5 и 10%, составляют соответственно 2,5899; 1,9439 и 1,6177. Если фактическое значение t больше критического значения  для заданного уровня значимости , нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции исследуемых временных рядов отклоняют и с вероятностью(1 – ) принимают альтернативную гипотезу о том, что между рядами y_t и x_t есть коинтеграция. В противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не отклоняется.

Другой метод тестирования нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции между двумя временными рядами основан на использовании величины критерия Дарбина-Уотсона, полученной для уравнения (8.1). Однако в отличие от традиционной методики его применения в данном случае проверяют гипотезу о том, что полученное фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона в генеральной совокупности равно нулю.

Ряд авторов приводят следующие критические значения критерия Дарбина - Уотсона, полученные методом Монте- Карло для ближайших уровней значимости: 1 % – 0,511; 5% – 0,386; 10% – 0,322. Если результаты тестирования показывают, что фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона нельзя признать равным нулю (т.е. оно превышает критическое значение для заданного уровня значимости), нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняют.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции не отклоняется.

Коинтеграция двух временных рядов значительно упрощает процедуры и методы, используемые в целях их анализа, поскольку в этом случае можно строить уравнение регрессии и определять показатели корреляции, применяя в качестве исходных данных непосредственно уровни изучаемых рядов, учитывая тем самым информацию, содержащуюся в исходных данных, в полном объеме. Однако поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени. При наличии коротких временных рядов данных, даже если формальные критерии показали присутствие их коинтеграции, моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов может привести к неверным результатам ввиду нарушения предпосылок теории коинтеграции.

№13