1) Преобразования Фурье. Основные свойства. Области применения

Прямое Фурье-преобразование F(u) непрерывной функции одной переменной f(x):

Обратное Фурье-преобразование, т.е. получение f(x) по образу F(u) :

Свойства:

- Любая периодическая функция функция может быть представлена в виде ряда суммы синусов/косинусов.

- Сложность функции не имеет значения

- Не периодическая функция может быть выражена в виде интеграла от синусов/косинусов

- Важное свойство

- Функция заданная рядом или преобразованием Фурье может быть восстановлена без потери информации.

- Таким образом, каждый элемент фурье преобразования, состоит из суммы всех значений f(x), которые умножаются на синусы и косинусы разных частот.

- В результате область значений переменной u, называют частотной областью.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других.

Билет 6

1) Преобразование Фурье. Фильтрация в частотной области. Этапы.

Прямое Фурье-преобразование F(u) непрерывной функции одной переменной f(x):

Обратное Фурье-преобразование, т.е. получение f(x) по образу F(u) :

Процедура фильтрации в частотной области проста и состоит из следующих шагов: 1)Исходное изображение умножается на , чтобы его фурье-преобразование оказалось, центрированным; 2) Вычисляется прямое ДПФ изображения, полученного после шага 1; 3) Функция умножается на функцию фильтра ; 4) Вычисляется обратное ДПФ от результата шага 3; 5) Выделяется вещественная часть результата шага 4; 6) Результат шага 5 умножается на .

2) Операция открытия. Определение. Свойства.

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов. Однако она имеет недостаток - все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Можно избежать этого эффекта посредством масштабного преобразования изображения после эрозии с помощью того же структурного элемента. Эта комбинация операций называется операцией открытия. Открытие отсеивает все объекты, которые ни в одной точке полностью не вмещают структурный элемент, но избегает общего уменьшения размера объектов. Она является также идеальной операцией для удаления линий с толщиной меньшей, чем диаметр структурного элемента. Границы объектов становятся более гладкими.

Билет 7

1 ) Идеальный фильтр низких частот. Соотношения. Свойства.

Самый простой фильтр низких частот, который можно представить, – это фильтр, который обрезает все высокочастотные составляющие фурье- образа, находящиеся на большем расстоянии от начала координат (центрированного) преобразования, чем некоторое заданное расстояние . Такой фильтр называется двумерным (2D) идеальным низкочастотным фильтром (идеальным фильтром низких частот, ИФНЧ), и имеет передаточную функцию

Название идеальный фильтр указывает на то, что все частоты внутри круга радиуса проходят без изменения, в то время как все частоты вне круга подавляются полностью.

, D₀ >0 – порог, D(u,v) – расстояние от начала координат до точки (u,v)