1. Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий Полная группа событий

Событие – это результат опыта, экспримента, природного или общественного явления.

Достоверное соб. – обязательно произойдет при заданных условиях.

Невозможное соб. – Не могут произойти при тех же условиях. Обоз. Ω

Случайные соб.- могут и произойти и не произойти. При одних и тех же условиях .

События назв. Несовместимыми если появление обного из них исключает появление другого.

Под суммой событий понимают А₁,А₂,…,A_n понимается событие А₁+А₂+…+A_n которое имеет место ттогда хотябы одно из событий А₁,А₂,…,A_n то есть объединение.

Произведение нескольких событиё А₁,А₂,…,A_n назв. Событие состоящее из одновременно осуществившихся событий А₁,А₂,…,A_n или пересечение.

Несколько событий образуют полную группу событий для данного испытания если они являться единственно возможными и несовместимыми.

Событие Ā назв. Противоположным событием А если оно несовместимо с ним и образует в сумме с ним достоверное событие. А+Ā=Ω, АĀ=Ø

2. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.

Под вероятностью события понимается число являющейся характеристикой степени возможности наступления этого события.

Классическое определение вероятности задаётся формулой.

, где P(A) – сероятность события A, 0≤Р≤1, m – число элементарных событий благоприятных событию А, n – общее число событий для этого испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее

свойства:

I. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Отсюда следует

1) вероятность невозможного события = 0 Р(Ø)=0

2) Р(А)=1-Р(Ā) Ā-противоположное событие.

3)

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов W(A)=m/n .

3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий .Вер-ть против. Соб-я

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Введем обозначения:

n — общее число возможных элементарных исходов испытания;

m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A;

m₂ — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события В, равно m₁+m₂.

Следовательно,

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий образующих полную А₁+А₂+…+A_n=Ω группу событий равна 1:

 

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом,  заключается в том, что событие А не произошло.

Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

           р(А) + р( )

4.Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

P(A/B) P(B/A)

Если P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

A B –ЗАВИСИМ. Соб-я

P(AB)=P(A)*P(B) А,В –независим. Соб-я

  Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Замечание. Условная вероятность события может быть как больше так и меньше абсолютной.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)-Р_А(В).

Доказательство. Введем обозначения: n — число возможных элементарных исходов испытания, в которых событие А наступает или не наступает;

n₁— число исходов, благоприятствующих событию А (n₁<=n);

m — число элементарных исходов испытания, в которых наступает событие В, в предположении, что событие А уже наступило, т. е. эти исходы благоприятствуют наступлению события AB(m<=n₁).

Вероятность совместного появления событий А и В

Приняв во внимание, что n₁/n=Р(А) и m/n₁=Р_A(В),

окончательно получим

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В).

Выражение справедливо для несовместных событий, в этом случае оно примет вид:

P(AB)=P(A)P(B)

Т.к. P_А(В)=Р(В)

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

.

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РA (В) = Р (В). (*) Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим Р (A) Р (В) = Р (В) РB (A). Отсюда РB (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что   с в о й с т в о   н е з а в и с и м о с т и   с о б ы т и й   в з а и м н о. Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.