15. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

- Уравнение в полных дифференциалах. Является таковым, если выполняется условие:

Метод решения: 1) Проверяем, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах, проверяем условие.

2) находим функцию u(x,y) из системы

Для этого, интегрируя первое уравнение системы по х (и считая у постоянным), сначала находим с точностью до произвольной постоянной c(y), зависящей от у. Подставляем найденное решение во второе уравнение системы и находим . По производной С’, интегрируя находим функцию C(y), тем самым u(x,y).

Искомое решение y=y(x) – это u(x,y)=c=const

15. Неполные дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

1. Ду, не зависящие явно от у

Если k - наименьший порядок производной, входящей в уравнение, то уравнение можно записать в виде:

Делаем замену z=y^k, где z=z(x) –новая неизвестная функция. Тогда z’=y^(k+1),….,z^(n-k)=y^n, что понижает порядок уравнения на k единиц. Так как порядок уравнения стал меньше, то уравнение стало проще. Пусть z=z(x) – его общее решение. Тогда чтобы решить исходное уравнение, остается найти у из простейшего уравнения y^k=z(x).

Замена y’=z сводит уравнение к уравнения первого порядка.

2)Ду, не зависящие явно от х

Уравнения имеют вид:

F(y,y’,y’’)=0

Порядок уравнения понижается заменой обеих переменных: считаем у независимой переменной, а у’=p=p(y) – некоторой неизвестной функцией от у. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

или сокращенно y’’=pp’

Таким образом, замена y’=p, где p = p(y) сводит исходное уравнение к уравнению 1 порядка.

Пусть p=p(y) – общее решение уравнения, тогда чтобы решить исходное уравнение, остается решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными y’=p(y)

15. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Показательная функция является решением ЛОДУ тогда и только тогда, когда является корнем характеристического уравнения

Характеристическое уравнение получается из первого уравнения, если производные y^I заменить на степени переменной .

Если является корнем кратности k характеристического уравнения, то ему соответствуют k решений

Если пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют 2 решения

15. Линейная независимость решений ду. Определитель Вронского

Функции называются линейно независимыми на интервале если равенство , где , выполняется тогда и только тогда, когда

Средством изучения линейной зависимости системы ф-ий явл.так называемый определитель Вронсоко или вронскиан. Для двух диф.ф-ий вронскиан имеет вид:

.

Теорема лин. зависимости: Если диф.ф-ии лин.зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции линейно зависимы, то в равенстве значение отлично от нуля. Пусть , тогда поэтому для любого

.

15. Структура общего решения неоднородного линейного ду

Пусть имеется ЛНДУ порядка n

Где – непрерывные функции на отрезке [a;b], а

- ЛОДУ, соответствующее первому уравнению.

Теорема:

1. Если есть решение ЛНДУ первого уравнения, есть решение ЛОДУ второго уравнения, то сумма есть решение ЛНДУ

2. Если есть какое-то решение ЛНДУ первого уравнения, то любое другое решение ЛНДУ можно представить в виде , где есть некоторое решение ЛОДУ второго уравнения

Таким образом, общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ

Если первое уравнение имеет вид , где y1=y1(x), y2=y2(x) – фундаментальная система решения соответствующего ЛОДУ. Таким образом, чтобы найти все решения ЛНДУ, достаточно найти 1 его решение и 2 решения соответствующего ЛОДУ