13. Теорема Коши, формулировка для дифференциального уравнения первого порядка.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Для дифференциального уравнения порядка n, разрешенного относительно старшей производной, это задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, , т.е. задаются y0,y’0… функции и ее производных до порядка n-1включительно в некоторой начальной х0. число условий равно порядку уравнений.

Теорема Коши: Если функция и её частные производные по переменным y0,y’0… непрерывны в некоторой окрестности точки х0,y0,y’0… , то в некоторой окрестности точки х0 существует единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, .

Общее решение уравнения зависит от n произвольных постоянных C1,C2…Cn. y=φ(x,C1,C2,…Cn). роль произвольных постоянных играют начальные значения.

Чтобы решить задачу Коши, находят общее решение . y=φ(x,C1,C2,…Cn), затем находят произвольные постоянные из начальных условий, т.е. С1, С2,…Сn находят из системы n уравнений.

y 0=φ(x0,C1,C2,…Cn)

y’0=φ’(x0,C1,C2,…Cn)

…

= (x0,C1,C2,…Cn)

14)Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Функция называется однородной функцией степени k, если для любого λ имеет место тождество

т.е. если при умножении x и y на одну и ту же постоянную λ функция умножается на λ^k . если k=0, т.е. , то функция называется просто однородной.

Простейший пример однородной функции –это однородный многочлен, т.е. многочлен все члены которого имеют одну и ту же степень k.

При умножении(делении) однородных функций снова получается однородная функция степени равной сумме(разности) их степеней. Любую однородную функцию f(x,y) можно представить как функцию от отношения

Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, y) называется однородным, если функция f(x,y) однородна.

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде

Метод решения: замена =t где t- новая неизвестная функция ,сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

15. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Если функция является произведением функции, зависящей только от x, и функции, зависящей только от y, т.е если оно имеет вид . Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид

(2)

Решение уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем. Подставляя , мы можем записать уравнение в дифференциальном виде (2). Затем разделяем переменные, т.е. делаем так, чтобы х содержался только в одной части, а у только в другой. Получаем уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя это уравнение, т.е. приравнивая интегралы от левой и правой части, получим общее решение ДУ с разделяющимися переменными. При вычислении неопределенных интегралов мы учитываем произвольную постоянную только в одном из них.