3. Интегрирование рациональных функций (1 теорема Остроградского).

Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида:

Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m<n ; в противном случае дробь называется неправильной.

Для вычисления сначала решают алгебраическую задачу представления R(x) в виде суммы многочлена и правильной дроби, которая в свою очередь представляется в виде суммы простейших дробей. После этого вычисление сводится к вычислению интегралов от простейших дробей.

Формула Остроградского – формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области (n-1)-кратным интегралом по её границе. Пусть есть векторное поле на , такое что функции вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области , граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали . Тогда формула Остроградского имеет вид: ,

где есть дивергенция поля V. Иначе говоря, интеграл дивергенции поля по области равен его потоку сквозь границу области.

4. Интегрирование иррациональных функций (подстановка Эйлера)

,

(то, что было в тетрадке про подстановку Эйлера)

Интегралы вида можно рационализировать (сводить к интегралам от рациональных функций) с помощью подстановок Эйлера. Первая подстановка Эйлера применима в случае, если a>0. Тогда делается замена . Возводя это равенство в квадрат, получим для выражения x через t уравнение первой степени.

(то, что в методе было)

Интегрирование дробно-линейных рациональностей. Это означает вычисление интегралов вида: где рациональная функция от (k+1) переменных. Приводим дроби к общему знаменателю . Делаем замену Тогда все корни «извлекаются»:

Кроме того, из равенства находим . В результате наш интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.

5. Интегрирование тригонометрических функций (универсальная тригонометрическая подстановка).

Вычисление интегралов вида .

Предполагая, что здесь m и n – целые числа, выделим три случая:

Случай 1. Либо m, либо n – нечётно. Пусть, например, n=2k+1 – нечётное. В этом случае нужно один косинус внести под знак дифференциала, , после чего останется cosx в чётной степени и его можно «переделать в синус» с помощью тождества

где t=sinx. Аналогично, если m – нечётное, всё сводится к косинусу.

Случай 2. m и n – чётные и неотрицательные: В этом случае понижаем общую степень m+n за счёт удвоения аргумента с помощью формул тригонометрии:

Случай 3. m и n – чётные и либо m, либо n – отрицательное. Пусть, например, , то есть

Отсюда видно, что с помощью формул

всё можно свести к переменной t=tgx. Аналогично, в случае m<0 всё сводится к t=ctgx.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

6. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Из геометрического смысла определённого интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, то есть области, лежащей под графиком функции вычисляется по формуле: Площадь области D, расположенной между графиками двух функций, т.е. вычисляется по формуле

(**)

1. Строим графики функций.

2. Находим точки пересечения графиков.

3. Вычисляем площадь фигуры по формуле (**).