Определение и примеры линейных пространств
Назад
Линейное (векторное) пространство — естественное обобщение обычного трёхмерного евклидова пространства; в нём определены две алгебраические операции: сложение элементов (векторов) и умножение элементов на число (скаляр), подчинённые семи аксиомам.
Пусть — К поле вещественных или комплексных чисел (поле скаляров). Множество Х называется линейным (векторным) пространством над , если
для каждых
двух его элементов x и y определена их
сумма х+у
и
для любого
элемента х
и числа
определено произведение лямбда*х
Аксиомы линейного пространства
(x + y) + z = x + (y + z)
x + y = y + x
(λμ)x = λ(μx)
(λ + μ)x = λx + μx
λ(x + y) = λx + λy
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства. Базис, размерность, координаты в n-мером пространстве. Назад
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Свойства
1. Любая система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства, содержащая нулевой вектор, линейн зависима.
2. Любая система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства, содержащая пару взаимно противоположных векторов, линейн зависима.
3. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.
4. Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.
5. Система векторов линейного пространства линейно зависма тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).
6. Система векторов линейного пространства линейно независма любая её подсистемы векторов.
7. Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного прострранства, линейно независима.
Теорема существования и свойства ортонормированного базиса
Назад
Теорема. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Назад
Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 называется рангом матрицы.
Свойства
1.При транспонировании ранг А не меняется
2.Если в матрице вычеркнуть ряд состоящий из 0 то ранг матрицы не изменится
3.Элементарные преобразования матрицы не меняются
Ранг канонической матрицы равен числе 1
Теорема
В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.