Система автоматизированного моделирования стрелового крана Монография Омск

Для подстановки в дифференциальное уравнение Лагранжа второго рода продифференцируем выражение (3.6.9):

Найдем выражение потенциальной энергии как сумму потенциальных энергий всех звеньев СГК в поле тяготения и потенциальных энергий упругих элементов:

Потенциальная энергия звеньев СГК:

i 1

где mi – масса i-го звена ССГК; g – ускорение свободного падения; G

– вектор направления сил тяжести звеньев СГК в инерциальной сис-

Для определения потенциальной энергии n упругих элементов воспользуемся уравнением Клайперона [15; 20]:

где Cu – коэффициент упругости u-го упругого элемента; u – полная деформация u-го упругого элемента.

Для случая малых перемещений полная деформация упруговязких элементов (тел Фохта) [15; 20]:

60

Продифференцировав данное выражение по обобщенной координате qj для подстановки в уравнение Лагранжа (3.1.1), получим

Найдем выражение диссипативной составляющей для подстановки в уравнение Лагранжа, воспользовавшись уравнением Релея

[15; 20]

где bu – приведенный коэффициент вязкости u-го элемента; u – скорость деформации u-го элемента.

По аналогии с выражением (3.1.43), полученным при определении выражения для потенциальной энергии, получим для выражения

(3.1.48)

Продифференцируем это выражение по скорости на обобщенной координате и получим [20]

62

где Fr – сила, приложенная к звену расчетной схемы; R0r – вектор координат точки приложения сил в инерциальной системе координат; Rir – вектор координат точки приложения силы к звену i в локальной системе координат этого звена.

Вектор Fr имеет вид

Подставив все выведенные выше слагаемые в уравнение Лагранжа второго рода (3.1.1), получим в общем виде систему из 10 дифференциальных уравнений (по числу обобщенных координат), каждое из которых имеет вид [20]

Систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме [10; 20]:

чения соответственно ускорений, скоростей и малых отклонений обобщенных координат; Q– матрица сил размером ∙1.

Элементы матриц А, B, C определяются по формулам [20]

u 1

63

Коэффициенты дифференциальных уравнений являются функциями больших значений обобщенных координат и конструктивных параметров СГК.

Математическая модель СГК, составленная на основе предложенной методики, позволяет решать задачи статики, кинематики и динамики грузоподъемного крана.

3.2. Математическая модель подсистемы гидропривода стрелового грузоподъемного крана

Математическую модель гидропривода СГК будем представлять в виде гидравлического многополюсника (ГМП), т.е. гидропривод в целом будет рассматриваться как состоящий из соединенных между собой гидромногополюсников.

Основные функциональные блоки гидросистем в виде расчетных схем и ГМП представлены в таблице 3.2.

64

65

Рассмотрим математические модели отдельных функциональных блоков гидропривода. Математические модели в виде гидромногополюсников линеаризованы и представлены в векторно-матричной форме, разрешенные относительновектора выходных параметров [11].

Двигательвнутреннегосгорания(дизель)

Математическая модель двигателя внутреннего сгорания:

Mд Mmin (q q0 );

(3.2.1)

J wд Mд Mс;

где Mд – момент двигателя внутреннего сгорания; Mmin – момент двигателя при минимальной подаче топлива q0, соответствующей холостому ходу; – постоянная настройки регулятора; q – подача топлива за цикл; q0 – минимальная подача топлива при холостом ходе двигателя; J – момент инерции двигателя; wд – угловая скорость вала двигателя; Mс – момент сопротивления.

Математическая модель двигателя внутреннего сгорания в виде ГМП:

Гидронасосрегулируемойподачи

Математическая модель гидронасоса регулируемой подачи:

P2 P1 Mн ηмн qнм eн ;

где Qн – подача насоса; qн – рабочий объем насоса; qнм – максимальный рабочий объем насоса; eн = qн/qнм – параметр регулирования; н – угловая скорость вала насоса; Mн – крутящий момент на валу насоса;

66

P1, P2 – давление соответственно на входе и выходе; он, мн – КПД насоса соответственно объемный и гидромеханический.

Математическая модель гидронасоса в виде ГМП:

W23 qнм ωн ηон; P2 dP2 ; Qн dQн ; Mн dMн ; ωн d н ;; eн deн .

Гидромоторсрегулируемымрабочимобъемом

Математическая модель гидромотора в соответствии с принятыми допущениями имеет вид:

где Qм – расход гидромотора; qм – рабочий объем гидромотора; qмм – максимальный рабочий объем гидромотора; eм = qм/qмм – параметр регулирования; м – угловая скорость вала гидромотора; Jм – момент инерции вращающихся масс, приведенный к валу гидромотора; Mм – крутящий момент на валу гидромотора; P1, P2 – давление соответственно на входе и выходе; ом, мм – КПД гидромотора соответственно объемный и гидромеханический.

Математическая модель гидромотора в виде ГМП:

где W11 qмм eм ηмм; W12 Jм s η qмм eм ;

W13 qмм ηмм P1 P2 Jм s Qм ηом qмм eм2 ; W21 0;

67

Гидроцилиндр

Математическая модель гидроцилиндра:

Fц P1 Sп P2 Sш mц s kц Vц;

где P1, P2 – давление соответственно на входе и выходе гидроцилиндра; Q1, Q2 – расходы жидкости соответственно на входе и выходе гидроцилиндра; Sш, Sп – площади соответственно штоковой и поршневой полостей гидроцилиндра; Vц – скорость штока гидроцилиндра; Fц – усилие на штоке гидроцилиндра; kц – коэффициент вязкого трения в гидроцилиндре; mц – подвижная масса, приведенная к штоку гидроцилиндра; kш, kп – коэффициенты упругости соответственно штоковой и поршневой полостей с жидкостью.

Математическая модель гидроцилиндра в виде ГМП:

68

где P1, P2 – давление соответственно на входе и выходе гидролинии; Q1, Q2 – расходы жидкости соответственно на входе и выходе гидролинии; kл - коэффициент упругости гидролинии; л – коэффициент потерь давления по длине гидролинии; Lл – длина гидролинии; dл – диаметр гидролинии; ж – удельный вес рабочей жидкости.

Математическая модель гидролинии в виде ГМП:

Гидрораспределительный элемент (золотник)

Математическая модель гидрораспределительного элемента:

P2 P1 γgж Sзз Q1 2ζзg γSжз2 Q12;

где P1, P2 – давление соответственно на входе и выходе золотника; Q1, Q2 – расходы жидкости соответственно на входе и выходе золотника; Sз – площадь проходного сечения золотника; з – коэффициент гидравлического сопротивления золотника.

Математическая модель гидрораспределительного элемента (золотника) в виде ГМП:

69