Завдання 3.

Нафтопереробні заводи із максимальною щоденною продуктивністю тис. т. бензину забезпечують бензосховища , потреба яких становить тис. т. бензину. Бензин транспортується до бензосховищ за допомогою трубопроводів. Вартість перекачування 1000 т. бензину від заводів до сховищ (в умовних одиницях) .

Скласти оптимальний план перевезення бензину.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

Завдання 4.

Фірма займається реалізацією автомашин двома способами: через магазин і через торгових агентів. При реалізації автомашин через магазин витрати на реалізацію складають умовних одиниць, а при продажу автомашин через торгових агентів - умовних одиниць. Знайти оптимальний спосіб реалізації автомашин, Якщо загальна кількість автомашин для продажу складає ( - номер варіанту).

Алгоритм розв’язання задач симплекс-методом

Задача. Торгівельне підприємство планує реалізовувати три групи товарів А, В і С. Планові нормативи затрат ресурсів на 1 тис. у.о. товарообігу, дохід від продажк товарів на 1 тис. у.о. товарообігу, а також об’єми ресурсів задані у таблиці 1.

Таблиця 1

Види ресурсів	Норми затрат матеріально-грошових ресурсів			Об’єм ресурсів
	група А	група В	група С
Робочий час продавців, людино-годин	0,1	0,2	0,4	1100
Площі торгівельних залів, м2	0,05	0,02	0,02	120
Площі складських приміщень, м2	3	1	2	8000
Дохід, тис. у.о.	3	5	4	max

Визначити плановий об’єм реалізації товарів та структуру товарообігу так, щоб дохід торгівельного підприємства був максимальний.

Розв’язок. Запишемо математичну модель задачі. Необхідно визначити вектор , який задовольняє умовам

(1)

і забезпечує максимальне значення цільової функції

.

Для розв’язування задачі симплекс методом, визначимо перший опорний план. Систему (1) з допомогою допоміжних змінних перетворюємо в систему рівнянь

. (2)

Економічний зміст першого плану при

,

)=0, отже, товари не реалізуються, ресурси не використовуються, дохід дорівнює нулю.

Оптимальний план визначимо з допомогою симплекс - таблиці.

Таблиця 2

Симплекс - таблиця

План	Базисні змінні	Значення базисних змінних
1		1100	0,1	0,2	0,4	1	0	0
		120	0,05	0,02	0,02	0	1	0
		8000	3	1	2	0	0	1
		0	-3	-5	-4	0	0	0
2		5500	0,5	1	2	5	0	0
		10	0,04	0	-0,02	-0,1	1	0
		2500	2,5	0	0	-5	0	1
		27500	-0,5	0	6	25	0	0
3		5375	0	1	2,25	6,25	-12,5	0
		250	1	0	-0,5	-2,5	25	0
		1875	0	0	1,25	1,25	-62,5	1
		27625	0	0	5,75	23,75	12,5	0

Коефіцієнти при невідомих складають матрицю

три останні стовпчики якої є лінійно незалежні вектори , тому що визначник

.

Отже, змінні приймаємо базисними першого плану.

Розв’яжемо систему (2) відносно базисних змінних:

функцію мети запишемо так:

.

Нагадаємо алгоритм розрахунків елементів таблиці:

1. в останньому рядку першого плану три від’ємні числа -3, -5, -4, з них вибираємо найбільше за модулем: -5 і це число визначає розв’язувальний стовпчик, який відповідає .

2. визначаємо min відношення

Отже, перший рядок є розв’язувальним, а на перетині розв’язувального рядка і стовпчика число 0,2 є розв’язувальним.

3. другий план складаємо так: замість у базис входить , всі елементи розв’язувального рядка ділимо на 0,2 і записуємо в перший рядок другого плану, а всі елементи розв’язувального стовпчика замінюємо нулями.

Решту елементів визначаємо за правилом прямокутника. Наприклад, замість числа 120 обчислюємо із прямокутника: одна вершина 0,2, друга – 0,02, третя – 1100 і одержимо:

Отже, із попереднього плану вибирають чотири числа, які утворюють прямокутник, причому завжди включають розв’язувальний елемент.

Аналогічно, формується 3 план. Причому, третій план є оптимальним, тому що всі елементи останнього рядка невід’ємні.

Оптимальний план

,

тис. у.о.

Отже, для оптимального плану необхідно продавати товарів першої групи 250 одиниць, другої – 5375 одиниць. Товари третьої групи не вигідно продавати.

В оптимальний план ввійшла змінна , яка вказує на те, що ресурси третього виду ( площі складських приміщень) недовикористані на 1875 м².

В останньому рядку у стовпчика змінних , які не входять в базисні, одержані додатні елементи, отже оптимальний план задачі лінійного програмування є єдиним.

На практиці часто виникає потреби змінювати об’єм ресурсів. Яким чином така зміна може вплинути на план торгівельного підприємства та прибуток відповідає двоїстий симплекс метод та методи аналізу моделей на стійкість.

Визначимо оцінку (наявну вартість) одиниці кожного виду ресурсів ), щоб при заданих об’ємах ресурсів , прибутку та нормах використання ресурсів мінімізувати витрати на організацію роботи торгівельного підприємства.

Математична модель двоїстої задачі: визначити вектор , який задовольняє обмеженням

(*)

та забезпечує мінімальне значення цільової функції

Обмеження (*) показують, що вартість ресурсів, витрачених на реалізацію одиниці j групи товарів, повинні бути не менше прибутку, який може бути одержаний від реалізації j групи товарів, а загальна вартість всіх ресурсів повинна бути мінімізована.

Нагадаємо правила побудови двоїстої задачі:

1. Число змінних двоїстої задачі повинно дорівнювати числу обмежень прямої задачі.

2. Матриця коефіцієнтів системи обмежень двоїстої задачі є транспонованою із матриці коефіцієнтів системи обмежень прямої задачі.

3. Система обмежень двоїстої задачі складається із нерівностей протилежного змісту по відношенню до нерівностей обмежень прямої задачі.

4. Коефіцієнти цільової функції прямої задачі записуються вільними членами двоїстої задачі.

5. Якщо пряма задача розв’язується на максимум, то двоїста задача розв’язується на мінімум.

Складемо двоїсту задачу до прямої задачі планування товарообігу.

Пряма задача

Двоїста задача

Ці задачі утворюють симетричну пару двоїстих задач.

Розв’язок прямої задачі дає оптимальний план товарообігу при реалізації трьох груп товарів, а розв’язок двоїстої – оптимальні оцінки ресурсів, які використовуються при організації торгівлі.

Розв’язок двоїстої задачі знаходимо за формулою

,

де - матриця коефіцієнтів базисних змінних, які ввійшли в оптимальний план. Для даної задачі

,

–

компоненти векторів, які складають оптимальний базис.

.

Ця матриця розміщена у стовпчиках додаткових змінних .

Маємо

.

Оптимальний план двоїстої задачі

.

За оптимальним планом

.

Визначимо, як використовуються наявні ресурси. Для цього підставимо оптимальний план в систему обмежень прямої задачі:

.

Перше і друге обмеження прямої задачі виконуються як рівності, отже ресурси: робочий час продавців та площа торгівельних залів використовуються повністю і є дефіцитними, а їх оцінки відмінні від нуля ( >0). Третє обмеження дало нерівність, тобто ресурс третього виду (площа складських приміщень) використовується неповністю, його залишок складає 1875 м². Отже, цей ресурс не є дефіцитним, тому його ціна .

Таким чином, додатну двоїсту оцінку мають ресурси, які повністю використовуються, тобто двоїста оцінка визначає дефіцитність ресурсів.

Двоїсті оцінки показують, які групи товарів є вигідними для реалізації.

Підставимо оптимальні значення двоїстих оцінок в систему обмежень двоїстої задачі. Одержуємо:

.

Із цих розрахунків можемо зробити висновок: продавати товари першої і другої групи вигідно (перше і друге обмеження двоїстої задачі виконуються як рівності), а на реалізацію товарів третьої групи буде витрачено коштів більше, ніж отримаємо дохід (третє обмеження виконується як строга рівність).

На практиці часто відбуваються зміни в об’ємах ресурсів, які автоматично впливають на оптимальний план.

Наприклад, збільшився перший ресурс на 1 людино-годину, отримаємо прибуток  тис.у.о. Звертаємо увагу на те, що таке збільшення можливе, якщо збільшити реалізацію другої групи товарів на 6,25 одиниць, зменшити реалізацію першої групи на 2,5 одиниць і при цьому залишки третього ресурсу (площі складських приміщень) зменшуються на 62,5 м² . Це відображено у стовпчику симплекс-таблиці.

Якщо дати на реалізацію навіть одну одиницю невигідного товару, то дохід зменшується на 5,75 тис.у.о.

У таблиці 2 у стовпчику бачимо, що зменшення доходу відбудеться за рахунок зменшення об’єму реалізації товарів другої групи на 2,25 одиниць, збільшення реалізації товарів першої групи на 0,5 одиниць і при цьому зменшується залишок ресурсів третього виду на 1.25 м².

Таким чином, можна зробити висновок:

• двоїсті оцінки мають зв’язок з оптимальним планом прямої задачі;

• будь-яка зміна початкових даних прямої задачі впливає на її оптимальний план та на двоїсті оцінки;

• двоїсті оцінки дають можливість робити аналіз та прогнозувати результат в умовах зміни економічної ситуації.

Важливого значення набуває можливість визначення інтервалів незмінюваності (стійкості) двоїстих оцінок по відношенню до можливих змін запасів ресурсів кожного виду. Іншими словами економічного значення набуває аналіз чутливості (стійкості), тобто визначення міри впливу малих змін значень початкових даних (коефіцієнтів) у цільовій функції та обмеженнях на шуканий план.

Граничні значення зміни кожного із ресурсів в умовах стійкості двоїстих оцінок можна визначити з нерівності

де - компоненти оптимального плану;

- коефіцієнти стовпчиків вільних змінних в оптимальному плані, їх ще називають коефіцієнтами структурних зміщень .

Якщо в план необхідно включити реалізацію збиткового товару, то його об’єм в рамках стійкості оптимального плану визначається із нерівності:

Для даної задачі визначимо інтервали стійкості для кожного із ресурсів. Робочий час продавців – перший ресурс може змінюватись в межах:

звідки , інтервал чутливості [1100-800; 1100+100]=[240; 1200].

Другий ресурс (площа торгових залів) може змінюватись в межах

або .

Інтервал стійкості [120-10; 120+30]=[110; 150].

Третій вид ресурсу використовується не повністю, його двоїста оцінка , отже, збільшення цього виду ресурсу недоцільно. В оптимальний план не входить змінна , третя група товарів не вигідна для реалізації

Якщо з якихось причин необхідно включити третю групу товарів, то можливий об’єм цієї групи такий:

або .

Таким чином, продавати товарів третьої групи в межах стійкості двоїстих оцінок можна не більше 1500 одиниць.

Виконаємо розрахунки можливих оптимальних планів при зміні початкових даних.

1. Нехай торгівельне підприємство збільшило робочий час на 30 людино-годин. Будуємо розрахункову таблицю 3.

Таблиця 3

Розрахунок оптимального плану

Базисні змінні	Значення базисних змінних	Коефіцієнти по стовпчик	Добуток ,	Розрахунок варіанту плану (2+4)
1	2	3	4	5
	5375	6,25	6,25*30=187,5	5562,5
	250	-2,5	-2,5*30=-75	175
	1875	1,25	1,25*30=37,5	1912,5
	27625	23,75	23,75*30=712,5	28337,5

Дохід збільшився, але при цьому зменшується реалізація першої групи на 75 одиниць, збільшується реалізація другої групи на 187б5 одиниць, збільшується недовикористання площі складських приміщень.

(ЕОМ для обчислення при зменшенні та збільшенні )

2. Нехай другий вид ресурсу (площа торгівельних приміщень) зменшиться на 10 м². Будуємо розрахункову таблицю 4.

Таблиця 3

Розрахунок оптимального плану

Базисні змінні	Значення базисних змінних	Коефіцієнти по стовпчик	Добуток ,	Розрахунок варіанту плану (2+4)
1	2	3	4	5
	5375	-12,5	125	5500
	250	25	-250	0
	1875	-62,5	625	2500
	27625	12,5	-125	27500

Розрахунки показують, що при зменшенні площі торгівельних приміщень на 10 м² першу групу товарів взагалі не потрібно продавати, збільшується продаж другої групи товарів і збільшується недовикористання складських приміщень, а дохід зменшується.

3. Визначимо, як зміниться дохід торгівельного підприємства, якщо необхідно включити в продаж третю групу в кількості . Будуємо розрахункову таблицю 4.

Таблиця 4

Розрахунок оптимального плану

Базисні змінні	Значення базисних змінних	Коефіцієнти по	Добуток ,	Розрахунок варіанту плану (2-4)
1	2	3	4	5
	5375	2,25	2,25*300=125	4700
	250	-0,5	-250	400
	1875	1,25	625	1500
	27625	5,75	-125	25900

Дохід зменшився і при цьому структура реалізації змінилась би так: зменшується реалізація другої групи товарів, збільшується реалізація першої групи, зменшується недовикористання площі складських приміщень.

Наведені розрахунки показують, що аналіз стійкості двоїстих оцінок дає можливість отримати множину варіантів оптимальних розв’язків з урахуванням змін вихідних даних моделі, але якщо ці зміни виходять за межі інтервалів чутливості, то одержуємо нову задачу і необхідно повторно знаходити оптимальний план та екстремум цільової функції.

Алгоритм розв’язування транспортної задачі.

Нафтопереробні заводи із максимальною щоденною продуктивністю тис. тонн бензину забезпечують бензосховища . Потреба яких становить тис. тонн бензину. Бензин транспортується до бензосховищ за допомогою трубопроводів. Вартість перекачування 1 000 т. бензину від заводів до сховищ(в умовних грошових одиницях) .

, ,

Скласти оптимальний план транспортування бензину.

Розв’язання.

1. Визначення типу транспортної задачі(відкрита чи закрита)

, отже задача відкрита. Вводимо фіктивного споживача.

2. Умову задачі запишемо у вигляді таблиці і зробимо перший розподіл за методом найменшої вартості.

	3 10 -	4	4 +	0
	1 75	2 75	5	6
	3	10	20	4 50

Кількість заповнених клітинок , де - кількість постачальників, - кількість споживачів(в тому числі і фіктивних).

.

3. Опорний план перевіряємо на оптимальність за допомогою потенціалів та , відповідно постачальників і споживачів

звідки

Спочатку приймаємо і визначаємо решту та .

Обчислюємо для незаповнених клітинок

Умова оптимальності не виконується для клітинки . Ставимо у клітинку знак «+» і утворюємо цикл, в межах якого будемо переміщати продукцію. Одержуємо:

	3	4	4 10	0
	2	1 10	3 10	0
	3 30	5	5 40	0 10

Обчислюємо потенціали заповнених клітинок останньої таблиці

Визначаємо для незаповнених клітинок:

Отже, останній план оптимальний.

Матриця перевезень:

Загальні витрати складають у.о.

Через незбалансованість поставленої транспортної задачі третій поставщик матиме залишок у сховищах в розмірі 10 тисяч тонн бензину.

ЛІТЕРАТУРА

1.	Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задач. — М.: Высш. Школа, 1986.
2.	Голець В.Л. Математичне програмування. — К.: КЕІМ, 1998.
3.	Дегтярев Ю.И. Исследование операций. — М.: Высшая школа, 1986.
4.	Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. — М.: Высш. Школа, 1980.
5.	Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 1998.
6.	Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. — М.: БЕК, 1998.
7.	Христіановський В.В., Єрин В.Г., Ткаченко О.В. Збірник задач з математичного програмування. — К.: НМК ВО, 1992.
8.	Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
9.	Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. Алгебра та геометрія для економістів. — К.: 2000.
10.	Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. Математичний аналіз для економістів. — К.: 1999.