22. Связь между потенциальной энергией и силой(формула с градиентом).

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

23. Полная механическая энергия

Полная механическая энергия - сумма кинетической и потенциальной энергии тела.

Полная механическая энергия: - характеризует движение и взаимодействие тел; и - является функцией скоростей и взаимного расположения тел.

E = E_к + E_п.

24. Закон сохранения механической энергии для м.Т закон сохранения механической энергии

– при любых процессах, происходящих в консервативной системе, ее полная механическая энергия остается неизменной.

Для механической энергии закон сохранения звучит так: полная механическая энергия консервативной системы материальных точек остаётся постоянной.        Для замкнутой системы, т.е. для системы, на которую не действуют внешние силы, можно записать:

.

(5.4.2)

т.е. полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется – частично она переходит в другие виды энергии, неконсервативные.

• Динамика вращательного движения.

25. Момент силы (определение + формула)Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

26. Момент инерции тела(основной закон динамики вращательного движения)Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.Согласно второму закону Ньютона,для тангенциальной составляющейсилы , действующей на материальную точку массой m, и ускорения

можем записать

С учетом, что

и

имеем

Домножимлевую и правую части на и получим

(5.2)

или

Произведение массы материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

27. Момент инерции для однородного диска(формула)

Тонкий твердый диск радиуса r и массы m

Это частный случай предыдущего объекта при h=0.