14.Точки разрыва, их классификация, примеры.

Опр. Если ф-ция f(x) не обладает в т.а св-вами непрерывности ( ), то т.а наз точкой разрыва f(x).Все точки разрыва делятся на три типа: –Точка а наз. точкой устранимого разрыва ф-ции если она имеет в точке а предел, но этот предел не равен частному значению ф-ции в этой точке( либо ф-ции в точке а не определена т.е. не существует).пример f(x)= разрыв в т.. х=0 =1

Если а точка устранимого разрыва, то этот разрыв можно устранить, доопределив ф-цию в точке разрыва или изменив значение ф-ции в точке разрыва.

–точка а наз.точкой разрыва первого рода если имеет в точке конечные правый и левый пределы не равные между собой. Пример: f(x)= разрыв в т. Х=0 = =1-правый

= =-1 –левый

– точка а наз. точкой разрыва второго рода ф-ции если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞. Пример: f(x)=sin x=0 т.разрыва =Sin(+∞) –не существует. =-Sin(+∞) –не существует.

f(x)= x=0 т. Разрыва =+∞ =-∞.

15.Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке: теорема о прохождении непрерывной ф-ции через нуль при смене знаков, теорема о прохождении непрерывной ф-ции через любое промежуточное значение. 1.Теорема через любое значение: Пусть y= непрерывна [a,b] и значение на концах отрезка , . Тогда любые числа ν, заключенного между α и β, существует т.сЄ[a,b] такая что .

2.Терорема через нуль:если ф-ция непрерывна на отрезке [a,b] и значения на отрезках , имеет разные значения то внутри [a,b] существует т.с такая что

16.Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, первая теорема Вейерштрасса. Точные грани функции, вторая теорема Вейерштрасса(о достижении граней функцией, непрерывной на отрезке). . Если ф-ция y= непрерывна на отрезке [a,b] то эта ф-ция ограничена на этом отрезке. Ф-ция y= ограничена сверху(снизу) на множестве Х если существует число М(м) такое что для любого хЄХ выполняется х≤М(х≥м). Ф-ция наз. ограниченной если она ограниченна и сверху и снизу. 2. Если ф-ция y= непрерывна на отрезке [a,b] то среди ее значений на этом отрезке имеются значения равные точкой нижней гранью м, и точкой верхней гранью М, т.е. существует т. такие что f( )= f( )=m.

17.Монотонные ф-ции, понятие обратной ф-ции, теорема о существовании и непрерывности обратной ф-ции. Обратные тригонометрические ф-ции. опр. Ф-ция y= наз. неубывающей(невозрастающей) на множестве Х, если для любых двух элементов этого множества таких что выполняються f( )≤ f( )( f( )≥ f( )). Опр. Ф-ция наз. монотонной если она является неубывающей или не возрастающей. Опр. Ф-ция наз. Монотонной если она является неубывающей или невозрастающей. Обратные ф-ции: Пусть y=f(x) определена на[a,b]. Пусть f(a)=α, f(b)=β, т.е. область значений [α,β]. Пусть любое yє[α,β] отвечает единственное значение xє[a,b] такое что f(x)=y тогда говорят что на отрезке [α,β] определенна ф-ция x=f^-1(y) обратная к ф-ции =f(x). Пример: =x² на отрезке [0,2] область значений [0,4] на [0,4] определена ф-цией x= . Теорема: Пусть ф-ция y=f(x) возрастает(убывает) на [a,b] и непрерывна на этом отрезке. Пустьf (a)=α, f(b)=β. Тогда на отрезке [α,β]([β,α]) определена обратная ф-ция для y=f(x) ф-ция x=f^-1(y), которая возрастает(убывает) и непрерывна на указанном отрезке. Замечание: определение обратной ф-ции аналогичным образом можно дать для любого мн-ва х.