6.Сходящиеся посл-ти: определение предела посл-ти, основные св-ва сходящихся посл-тей. Сходящиеся пос-ти.

Опр1. Пос-ть{ }наз. сходящийся если найдется такое вещественное число а, что пос-ть { } является бесконечной малой. Число а наз. пределом пос-ти { }и обозначается или →a при n→∞/

Замечание. Любая юесконечно-малая пос-ть является сходящийся с а=0.

Св-ва сходящихся пос-тей.

1.Сходящиеся пос-ть имеет только один предел. 2. Любая сходящиеся плоскость ограничена. Замечание. Из ограниченности пос-ти сходимость не следует.3. Сумма { }, разность { },произведение { } и частное { }(y не равен 0) сходящиеся пос-тей { } имеющих своими пределами число а и в являются сходящимися пос-тями имеющими пределы соответственно равны а+в, а-в, а*в, а\в(в не равно 0).4. если пос-ть { }сходиться к некоторому числу х, по крайне мере с некоторого номера выполняется неравенство ≥а( ≤в), то х≥а(х≤в).

Замечание. Если >a( <b), то не следует отсюда x>a(x<b)

7.монотонные посл-ти, теорема(признак Вейерштрасса) о сходимости монотонных ограниченных посл-тей. Опр. Посл-ть наз. Монотонной если она является неубывающей ( невозрастающей ).Теорема: для сходимости монотонной посл-ти необходимо и достаточно чтобы она являлась ограниченной. Замеч.- и любая сходящиеся пос-ть является монотонной. Пример(1,-1/2,1/3,-1/4,….,1/2n-1,-1/2n;) сходиться к 0 но не является монотонной.

8.Понятие ф-ции. Область определения, мн-во значений, способы задания. Простейшие элементарные ф-ции. Понятия функции.

Опр. Если каждому числу х из некоторого мно-ва поставлено в соответствии по определенному закону некоторое число у, то говорят что на мн-ве х задана функция у=у(х).

Х-наз. аргументом или независимой переменной. Х- наз. областью определения функции, у- наз. частным значением функции в точке х.

Спосабы задания ф-ции: 1 по средствам формул. 2.табличные способ- заключаються в задание таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значении ф-ций. 3.графический способ- соответствии между аргументом и ф-ции задается по средстом графики. Простейшие элементарные ф-ци. 1 Степенная ф-ция y= 2.показательная ф-ции y= a>0, a≠1. 3Логорифмическая ф-ция y= , a>0, a≠1. Тригонометрические ф-ции: y= , y= , y=tgx, y=ctgx. 5.Обратные тригонометрическиеф-ции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

9.Предел ф-ции в точке: определение предела ф-ции по Каши и по Гейне, эквивалентность двух определений. Предел функций.

Опр. Предел функций по гейне.

Число b наз.пределом функции y=f(x) в точке а, если для любой пос-ти значений аргумента .. сходящиеся к а, и состоящая из чисел не равно а, соответствующая пос-ть значений функции f( сходится к числу b

Опр. Предел функции по Каши.

Число b наз.пределом функции y=f(x) в точке а, если для любого положительного числа найдется число положительное, такое что для всех значений аргумента ч, удовлетворяющих неравенство 0<|x-a|<δ выполняется неравенство |f(x)-b|<ε

10.Односторонние пределы. Св-ва ф-ций, имеющих предел: арифметические операции, предельный переход в неравенствах. Понятие одностороннего предела.

Опр. По гейне.

Число b наз. правым(левым) пределом функции y=f(x) в точке а, если для любой пос-ти значений аргумента, сходящиеся к а и состоящий из чисел >a, соответствующая пос-ть { } значение функции сходится к b

Опр. По каше.

Число b наз. правым(левым) пределом функции y=f(x) в точке а, если любое ε>0 найдется число δ>0, такое что для всех значений аргумента х из интервала в случ. Предела (а,а+б)( в случ. Лев. Пр. (а-б, а)) выполняется неравенство |f(x)-b|<ε

Арифметические операции над функциями имеющими предел.

Теорема пусть 2 функции f(x) и g(x)заданы на одном и том же множестве х, и имеют в точке а пределы равные соответственно b и c. тогда функции f(x) +- g(x), f(x)*g(x), f(x)\g(x) имеют в точке а пределы, равные соответственно b+-c,b*c,b\c(c≠0)

Предельный переход в неравенствах. Теорема: Если 3 ф-ции, f(x), h(x), g(x) заданные в некоторой проколотой окрестности т.а две из которых f(x) и g(x) имеет одинаковый предел b и всюду в этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤h(x)≤g(x) то очевидно что ф-ции h(x) так же имеет предел в т.а то ф-ция h(x) имеет в т.а предел так же равный b.

11.«Замечательные» пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.(две формы записи). .1-й замечательный предел: Предел ф-ции в точке x=0 существует и равен 1. =1

2-ой зам. Предел: предел ф-ции в точке x=0 существует и равен e.Следствие: Предел при ф-ции существует и равен e. =e.

.

12.Бесконечно малые ф-ции, сравнение бесконечно малых ф-ции, примеры. .опр. ф-ция α(x) наз. беск. Малой в точке а, если . Замечание: если известно, что , то f(x)-b= α(x).

Сравнение: Пусть α(x) и β(x) – б.м. в т.а ф-ции. 1.ф-ция α(x) является б.м. высокого порядка в т.а , чем β(x) если =0. Пример: α(x)= β(x)= в т.х=0 = = = обозначение: α=0(β) 0-б.м. более высокого порядка.

2. Ф-ции α(x) и β(x) являются в т.а б.м. одного порядка, если ≠0≠∞ пример: α(x)= β(x)=7 в т.х=0 = = = .

3. Ф-ции α(x) и β(x) являются в т.а эквивалентными б.м. если =1. α(x)~β(x). Пример: α(x)= - б.м. в т.х=3 β(x)= = = =1. Если ф-ции α(x)~β(x) то при то при решении пределов одну ф-цию можно заменить другой.

13.Два определения непрерывности ф-ции в точке. Арифметические операции над ф-циями, непрерывными в точке. Сложная ф-ция и ее непрерывность. Непрерывность на мн-ве. опр. ф-ция наз. непрерывной в точке а если существует предел ф-ции в точке а, причем этот предел равен частному значению ф-ции в этой точке . опр. ф-ция наз. непрерывной на множестве х если она непрерывна в каждой точке этого множества. Опр. ф-ция наз. непрерывной в точке а с права(с лева) если существует правый(левый) предел в точке а, равный частному значению ф-ции в этой точке. утв. Если ф-ция непрерывна с права и с лева в точке а то эта ф-ция и просто непрерывна в точке а.