20 Несобственные интегралы.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Несоб.интегр.
с бесконечными пределами
интегрирования .Пусть функцияу= f(x)
определена и интегрируема на произвольном
отрезке [a,
f],т
е ф-я Ф(t)=
определ для произв t>=a
Несобственн
интегралом
от
функции f(X)
на полуинтервале от а до
+бесконечности,называется предел фии
Ф(t)
при t,стремящ-я
к + бесконечн т е
Если предел стоящий в первой части равенства существ и конечен то несобств интегр назыв сходящимся,иначе расходящ
По аналогии с теорией числовых рядов при работе с несоб интегр обычно выделяют следующ две задачи:исследование сходимости,вычислен значен если сходится
По
аналогии опред несоб
интегр на полуинтервале
(-беск,в]
Определение
сходимости интегр
анологично
приведенному выше
Пусть
для некотор числа а несобств интегралы
и
сходятся.Тогда
предположим что
=
+
при этом интеграл
назыв
сходящ.если хотя бы один из интегралов
входящих в правую часть расходится то
несоб интегр
Назыв расход.
Несобств интегралы от неогр функций .пусть ф-я у=
Непрерывна но не огран на полуинтерв [а,в)
Если
сущ и конечен предел
,гдеδ>0
то он назыв несоб интегралом от фии у=
на [а,в) и обозн
,т
е
=
В этом случае данный интеграл назыв сходящ иначе расход
Аналогично вводится понятие несобс интегр от фии у= непрерывной но неогранич на [а,в)
=
29
Теорема. (Признак сходимости Даламбера).
Пусть при всех
,
где
.
Тогда ряд сходится. Если же при
,
то ряд расходится.
Доказательство.
Из условий теоремы следует
.
Иными словами,
и
по первой теореме сравнения ряд сходится.
Если
,
то
при
и
ряд расходится.
В предельной форме этот признак выглядит так:
Теорема.
Если существует
,
то при
ряд сходится, при
-
расходится, а при
признак неприменим.
Доказательство.
При
выбираем
так,
чтобы
.
Пусть
выбрано
так, чтобы при
,
т.е.
и
,
.
По предыдущей теореме ряд сходится.
Если же
,
то выберем
так, что
.
Тогда при
и
ряд расходится.
30. Признак сходимости Лейбница. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах
. Признак сходимости Лейбница.
Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах. Ряд, состоящий из членов разных знаков, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Теорема: если для
знакопеременного ряда
сходится ряд, составленный их абсолютных
величин его членов
,
то данный ряд также сходится.
Доказательство: рассмотрим вспомогательный ряд
Так как 1) 0
и 2) ряд
в силу заданной по условию сходимости
ряда
также сходится, то на основании признака
сравнения и рассматриваемый вспомогательный
ряд сходится. Поэтому наш ряд
представляет собой разность двух
сходящихся рядов
=
и, следовательно, сходится, ч. т. д. Обратное утверждение не верно.
(признак Лейбница).
Если
члены знакочередующегося ряда (9.4.1),
будучи взяты по модулю, образуют не
возрастающую
бесконечно малую последовательность,
т.е.
и
,
то
этот ряд сходится.
Приведем примеры знакочередующихся рядов.
Исследовать
сходимость ряда
.
Этот
ряд сходится
по признаку Лейбница, так как его члены
убывают по абсолютной величине и
при
.
Исследовать
сходимость ряда
.
Нетрудно убедиться, что данный ряд удовлетворяет условиям Теоремы 1 и потому сходится.
Замечание.
В теореме Лейбница существенно не только
условие
,
но и условие
.
Так, например, для ряда
второе условие нарушено и, хотя
,
ряд расходится. Это видно, если данный
ряд представить в виде
,
т.е. удвоенного гармонического ряда.
Рассмотрим случай ряда с членами, имеющими произвольные знаки:
. (9.4.2)
Одновременно рассмотрим ряд
, (9.4.3)
где
- члены ряда (9.4.2). (достаточный
признак сходимости знакопеременного
ряда). Из сходимости ряда (9.4.3) следует
сходимость ряда (9.4.2).