13 Способ подстановки в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Метод замены переменной (метод подстановки).

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:

Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , , т.е. .

Найдем производные по переменной от левой и правой части; , . Т.к. , то эти производные равны, поэтому по следствию Лагранжа левая и правая части (1) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■

Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.

14 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.

1Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

где u = х + k.

2°. Интеграл

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

3

4

5 сводится к разобранным выше интегралам.

6 с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

15 Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, а если степень числителя выше или равна степени знаменателя, то дробь – неправильная.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

где – многочлен, а – правильная дробь.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то возникает вопрос об интегрировании рациональных дробей, каждая из которых может быть представлена в виде алгебраической суммы правильных дробей I, II, III и IV типов:

I тип: ;

II тип: , где – натуральное число;

III тип: ,

IV тип: , ( – натуральное число; корни знаменателя комплексные, – числа).

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

I. .

II. , .

При интегрировании дробей III и IV типов используется та же методика, что и при интегрировании функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Для вычисления интгралов вида возможно применение рекуррентной формулы, указанной в таблице раздела 3.8.

Интегрирование произвольной правильной дроби основано на теореме из курса алгебры.

Теорема. Каждая правильная дробь , где и – алгебраические многочлены, может быть представлена единственным образом в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие связано с разложением ее знаменателя на простые множители. Как известно, каждый целый многочлен с действительными коэффицентами разлагается, и притом единственным образом, на множители типа и ; при этом квадратичные множители предполагаются не имеющими действительных корней и, следовательно, неразложимыми на линейные множители. Объединяя одинаковые множители и полагая для простоты старший коэффициент многочлена равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде

Тогда правильная дробь

может быть представлена в виде

Коэффициенты можно определить методом неопределенных коэффициентов. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим в числителях тождественные многочлены справа и слева. Приравнивая коэфциенты при одинаковых степенях х , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .