1.3. Некоторые сведения из тензорного анализа
При описании многих явлений часто встречается ситуация, когда одна векторная величина
является
функцией другой векторной величины.
Так, например, сила
,
действующая на
элементарную
площадку
в точке А тела зависит от ориентации
этой площадки, которая
задается
вектором нормали
, то есть
(рис.1.5). Аналогично, вектор
плотности
тока
в анизотропном проводнике не параллелен
вектору
напряженности электрического
поля,
а является ее функцией
.
Установление вида этих функций является
задачей
механики и физики, но в любом случае приходим к необходимости введения нового
понятия – пары векторов.
А А
Рис.1.5.
1.3.1. Определение тензора второго ранга
Простейшим
тензором второго ранга является диада
– упорядоченная
пара векторов
,
которая
записывается единым символом
(или
); знак
(
)
(или отсутствие знака)
называется
знаком тензорного умножения. Термин
«упорядоченная» означает, что
.
Тензоры
будем обозначать буквами с двойной
чертой
=
.
Далее знак ( ) мы использовать не будем.
На множестве диад вводятся правила:
1. Распределительный закон по отношению к первому и второму векторам:
2.Сочетательный
закон по отношению к скалярному
множителю:
3. Распределительный закон по отношению к скалярному множителю:
4.Существование
нулевой диады:
5. Под суммой двух и более диад будем понимать неупорядоченную совокупность
Рассматривая
сумму двух диад
,
видим, что она не может быть записана в
виде
одной диады, за исключением случаев, сводящимся к законам (1),(3). Аналогично, нельзя
свести
к одной диаде и сумму б
льшего
числа диад, то есть правила (1)-(5) выводят
нас за
пределы множества диад (множество незамкнутое). Нетрудно убедиться, что минимальной
неупрощаемой в общем случае совокупностью, к которой может быть приведена сумма
любого числа диад, является сумма трех диад. Действительно, сумма четырех, например,
диад в силу линейной зависимости в трехмерном пространстве четырех и более векторов
записывается в виде суммы трех диад:
Определение: тензором второго ранга называется неупорядоченная сумма любого
конечного
числа диад
По поводу этого определения сделаем замечание. Тензор в виде одной диады иногда
называют линейным тензором, в виде суммы двух диад – плоским, а виде неупрощаемой
суммы трех диад полным [ 1]. Смысл этих терминов станет понятным ниже.