4.2.4. Описание положения твердого тела с помощью тензора поворота.

Теорема Эйлера о тензоре поворота.

Положение тела описывается вектором положения какой-либо точки А и ориентацией

посредством тензора поворота , переводящим жестко связанную с телом тройку

векторов из отсчетного положения в актуальное: (рис.4.8)

z В

В

В

А

А y

x Рис.4.8

Раскладывая по отсчетному базису, будем иметь

, где называются

направляющими косинусами.

Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной одним

поворотом на угол вокруг оси поворота.

В математическом виде теорема сводится к следующей теореме:

Теорема о представлении тензора поворота.

Тензор поворота , не равный , единственным образом можно представить в виде

+( ) (4.18)

Где -угол поворота, а единичный вектор задает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворота согласовано с

направлением в соответствии с принятой ориентацией пространства, т.е. в

правоориентированном пространстве положительный поворот с конца виден против

часовой стрелки (рис. 4.7).

Доказательство.

Покажем, что существует единственный неподвижный вектор , т.е. уравнение

имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного

уравнения , которое имеет решение, только если определитель равен нулю,

что и следует из цепочки

Предполагая, что существуют два решения = и = , получим с помощью

тождества #2 (1.13) , что и также является неподвижным вектором, что невозможно ( ) .

Положим .

Подставляя эти выражения в тензор и, заменяя комбинации,

содержащие на независящие от их выбора выражения , придем к (4.18): +( ) .

Можно доказать [3] , что тензор поворота аналитически выражается через произведение

, называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать .

Представление (4.18) позволяет доказать весьма важную теорему:

Теорема. Если неподвижный вектор тензора ), определяющий ось поворота, сам

получен поворотом , то . (4.19)

Иными словами: « тензор поворота с повернутой осью равен повернутому тензору»

Доказательство. Подставляя в (4.18) , получим

, , и, полагая в тождестве #4 (1.16)

= .Таким образом,

+( ) +( ) .