5.2.6. Вычисление тензоров инерции некоторых тел (шар, цилиндр, конус).

1. Шар.

Центральный тензор инерции – шаровой: .

Складывая моменты инерции, получим

В качестве элемента массы возьмем массу шарового слоя толщиной dr: ,

где элементарный объем , а плотность .

. Тогда и окончательно

Рассмотрим частные случаи.

а) Шар:

dr

a R

б) Оболочка:

2. Полый прямой круговой цилиндр .

Z

Найдем сначала

Выделим двумя цилиндрическими поверхностями

радиуса и трубку толщиной и от тройного

интеграла перейдем к одинарному:

Учитывая, что , найдем сумму

.

Разделив цилиндр на пластинки толщиной и массой , найдем

.

Итак, ,

Рассмотрим частные случаи.

а) Сплошной цилиндр ,

б) Оболочка ( ): ,

в) Пластинка ( ): ,

г) Стержень (бесконечно тонкий цилиндр) ( ): ,

3.Прямой круговой конус (радиус основания R, высота h, плотность ).

Найдем .

Чтобы не вычислять тройной интеграл по x,y,z в декартовых А Y

координатах ( или по ,

разобьем конус на пластинки толщиной ,

радиуса и моментом инерции X r

, С 

Тогда .

R

Далее найдем сумму

Z

И, вычислив интеграл , получим

.

Моменты инерции относительно центральных осей вычисляются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера ( AC= ):