3.5. Обработка результатов многократных измерений

Целью многократных измерений является оценка истинного значения измеряемой величины. При этом результаты отдельных измерений x₁, x₂, ... x_n рассматриваются как значения случайной величины с исключенной систематической погрешностью. Если принять ее равной нулю, то наиболее достоверным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое из полученных результатов, т. е.

Для оценки точности результата измерений необходимо знать закон распределения случайных погрешностей. В практике измерений электрических величин распределение погрешностей обычно соответствует нормальному закону (распределение Гаусса), математическое выражение которого имеет вид

(3.7)

где р() - плотность вероятности случайной погрешности ;  - среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение выражается через случайные отклонения результатов измерений от среднеарифметического

. (3.8)

Вид кривых, описываемых уравнением (3.7), для двух значений  показан на рис. 3.2. Из них видно, что чем меньше , тем чаще встречаются малые погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. Кривые симметричны относительно оси ординат, поскольку погрешности положительного и отрицательного знака встречаются одинаково часто.

Вероятность появления погрешностей со значениями от ₁ до ₂ определяется площадью заштрихованного участка на рис. 3.2:

. (3.9)

Рис. 3.2. Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Значения этого интеграла для различных пределов приводятся в математических справочниках. Интеграл, вычисляемый для пределов от -  до +, равен 1, т.е. вероятность появления случайной погрешности в этом интервале является 100%-й.

Среднее арифметическое ряда измерений является лишь наиболее достоверным значением измеряемой величины. Точность ряда измерений можно оценить с помощью средней квадратичной погрешности и вероятной погрешности. При нормальном законе распределения средняя квадратичная погрешность

. (3.10)

Вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые границы, называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

С увеличением доверительного интервала доверительная вероятность возрастает, стремясь в пределе к единице. Например, для доверительного интервала +  >  > -  доверительная вероятность р = 0.68, т.е. вероятность того, что погрешность не превысит среднего квадратического отклонения составляет 68%, вероятность же того, что она его превысит, будет равна 32%. Иначе говоря, примерно одно из трех измерений будет иметь погрешность большую, чем .

Для доверительного интервала + 3 >  > - 3 доверительная вероятность равна 0.9973. Вероятность появления погрешности, большей 3, равна 1 - 0.9973 = 0.027 1/370. Это означает, что из 370 случайных погрешностей лишь одна по абсолютному значению окажется больше 3 («правило 3 сигм»). Значение 3 считаются максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности считается промахами и при обработке результатов не учитываются.

Вероятной погрешностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях одна половина случайных погрешностей по абсолютной величине меньше, другая – больше ее. По определению вероятная погрешность равна доверительному интервалу, для которого р = 0.5. При нормальном законе распределения

. (3.11)

Данный способ определения доверительных интервалов и вероятных погрешностей справедлив для сравнительно большого (20–30) количества измерений. На практике приходится ограничиваться значительно меньшим числом измерений. В этом случае для нахождения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность следует умножать на коэффициент Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности (р) и числа измерений (n). Таблицы коэффициентов Стьюдента приводятся в математических справочниках; фрагмент такой таблицы представлен ниже.

Таблица 3.1

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений n	Вероятность Р
	0.50	0.60	0.70	0.80	0.90	0.95	0.98	0.99
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30	1.00 0.82 0.77 0.74 0.73 0.72 0.71 0.71 0.70 0.69 0.69 0.68	1.38 1.06 0.98 0.94 0.92 0.90 0.90 0.90 0.88 0.87 0.86 0.65	2.00 1.30 1.30 1.20 1.20 1.20 1.10 1.10 1.10 1.10 1.10 1.10	3.10 1.90 1.60 1.50 1.40 1.40 1.40 1.40 1.40 1.30 1.30 1.30	6.30 2.90 2.40 2.10 2.00 1.90 1.90 1.90 1.80 1.80 1.70 1.70	12.70 4.30 3.80 2.80 2.60 2.40 2.40 2.30 2.30 2.10 2.10 2.00	31.80 7.00 4.50 3.70 3.40 3.10 3.00 2.90 2.80 2.60 2.50 2.50	63.70 9.90 5.80 4.60 4.00 3.70 3.50 3.40 3.30 3.00 2.90 2.80

Окончательный результат измерения должен быть представлен в виде

где t_n – коэффициент Стьюдента.

При косвенных измерениях искомая величина Х является известной функцией вспомогательных величин А, В, С ..., полученных прямыми измерениями X = F(A,B,C ...).

Если известны погрешности вспомогательных величин, для погрешности искомой величины справедливо

(3.12)

где F₁, F₂, F₃ – функции переменных А, В, С; _А, _В, _С – их относительные погрешности.

Поскольку знак погрешностей _А, _В, _С неизвестен, всегда следует рассматривать неблагоприятный случай, когда они имеют одинаковые знаки.

В частном случае, когда величина Х является произведением двух переменных,

Х = А^{m .}Bⁿ,

где m, n могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными числами, погрешность составит

. (3.13)