17 Оценка вероятностного показателя надежности системы,

представленной пяти узловым полно связным графом.

5+4+3+2+1=15 элементов (дуги + узлы)

Каждый узел имеет свою вероятность

Если система не восстановления:

Система с восстановлением: , где под понимаем коэффициент оперативной готовности: /

Каждому узлу ставим в соответствие переменную , а каждой дуге

ФАЛ будем записывать в виде системы логических уравнений:

сечение по первому узлу.

Это вероятность связности входного узла 1 и выходного 5

В данной системе все логические переменные оказались не повторными и поэтому могут быть замещены.

, обозначим (*)

Тут уже надо замещать логические функции, а их можно замещать только бесповторные.

У нас только бесповторная.

Заменим в первом уравнении бесповторную :

мы реализовали алгоритм разрезания по логической функции , а это мы знаем (*), поэтому:

Бесповторной оказалась одна функция , теперь замещаем ее:

.

Бесповторной осталась логическая функция .

Далее исключаем логическую переменную , а затем и , находим вероятностный полином в общем виде. В этой формуле сумма коэффициентов равна 1, таким образом можно проверить правильность формулы.

Частный случай:

Если связей нет, то , если нет внутреннего узла, то , если полюса нет, то

Таким образом можно распространить формулу для n-узлового графа, но точного аналитического решения иногда не возможно получить, например, при больших размерностях.

18 Случаи нахождения приближенного решения

для случая классического логико-вероятностного метода.

Приближенное решение можно найти в следующих случаях:

1. Строим ФР(функцию работоспособности) приближенно

2. При точном задании ФР переводим ее в приближенную форму, для упрощения процедуры замещения логических переменных.

3. Изменяем процедуру метода и строго приближенного решения.

Таким образом, мы имеем следующие подходы:

1. Если запись идет по путям, то перечисляя все пути, мы найдем приближенное значение ФАЛ, которая даст заниженную оценку работоспособности.

2. Если по сечениям – то не перечисляя все сечения находим приближенное значение ФАЛ – завышенную оценку работоспособности.

Допустим, мы имеем ФАЛ, полученную путем перечислением путей, тогда тогда она будет в ДНФ. Чтобы облегчить процедуру построения формы, допускающей замещение логических переменных, дописываем там, где они необходимы.

1. , допишем , чтобы получить СДНФ: , теперь можем получить приближенную, заниженную оценку.

2. Можно вычеркнуть некоторую , тогда получим завышенную оценку.

3. Вычеркивая в ДНФ целый путь получаем приближенное решение – заниженную оценку.

Можно использовать свойство монотонности логической функции:

Монотонность ФАЛ:

1. - если в системе все комплексы работают, следовательно, система работоспособна, в целом.

2. - если в системе все отказало, она не работает.

3. - если в системе отказало 5 элементов, то отказ 6-го не улучшит параметров надежности.

Приведенный подход позволяет узнать приближенное решения, которые дают и завышенную, и заниженную оценку.

- производная ФАЛ .

Выбирая случайно k логических переменных, возьмем, для примера, . Реализуем алгоритм разрезания по переменным.

Запишем вероятностный полином, так как все слагаемые ортогональны.

(*)

разрезаем по трем первым переменным:

В силу монотонности:

Рассмотрим уравнение (*)

. Если заменить и вставить его на место всех , то получим завышенную оценку, равную 1.

- получим нижнюю оценку, так как мы отбросили возможно работоспособные элементы. Если вычислить больший , то заменив, максимальной из них, на все не вычисленные, получим вторую верхнюю оценку , и отбросив не посчитанные, получим нижнюю оценку.

Нижнюю оценку можно строить на основе следующих формул.

Аналогично ищем максимум.

Отбросив слагаемые . Значение вероятности можно считать приближенно. Плюс в том, что имеем и нижнюю и верхнюю оценки.