I. Алгоритм разрезания

Базируется на th. Разложение Булевской алгебры

Th Разложение.

1-ый частный случай Th:

=1 - по всем наборам const, где ФАЛ=1

тогда это форма представления произвольной функции f в СДНФ.

СДНФ эквивалентно методу полного перебора состояний системы.

Есть сиситема, у неё есть ФАЛ: f(x) – n-мерная функция

Осуществить перебор всех наборов

подставляем в f(x) и смотрим, система работоспособна или нет.

Считаем вероятность попадания в такое состояние.

2-ый частный случай Th:

- это метод исключения особого элемента.

x_i – особый элемент. = 1 – работоспособность идеальна

= 0 – неработоспособно.

II. Метод ортогонализации

Позволяет из ДНФ построить дизъюнкцию ортогональных бесповторных форм.

В общем виде ДНФ:

f_i – это некая дизъюнкция логических переменных.

Чтобы построить дизъюнкцию ортогональных форм надо построить f в следующем виде:

Здесь все элементы по построению ортогональны.

Надо сделать, чтобы каждый элемент был бесповторным. Беcповоторная форма – для простых систем, а СДНФ и ортогональность – для любых.

Примеры:

- это бесповторная форма с конъюнкцией и отрицанием.

- СДНФ

Форма, допускающая замещение логических переменных.

- ДНФ

Переходим:

Получим СДНФ.

Последний этап –

Замещение логических переменных и построение вероятностного полинома.

Берётся любая форма, допускающая замещение (ФДЗ)

Здесь заменяются:

& – *

v – +

x_i – P_i = P(x_i = 1)

– 1-P_i = q_i = P(x_i = 0)

Рассмотри пример 2:

- вероятность работоспособности системы

Для примера 3: (для СДНФ)

Это методы вычисления сложных вероятностей.

Класс логико-вероятностных методов (ЛВМ) позволяет оценивать показатели надёжности систем, состоящих из 20-25-ти элементов при ручном подсчёте.

Сейчас часто используется модифицированный логико-вероятностный метод (МЛВМ).

В ЛВМ наиболее трудоёмкий этап перехода от ФАЛ к ФДЗ.

Для упрощения этой процедуры был введён МЛВМ

1. Запись ФАЛ

2. Преобразование ФАЛ к ФДЧЗ (форма, допускающая частичное замещение логических переменных). И вместо ФАЛ уже есть СФФВ (смещённые формы функции вероятности) – есть и логические операции и операторы, и арифметические.

3. СФФВ –> ФДЧЗ –> и дальше. Здесь используется алгоритм разрезания.

4. И этот этап (3) повторяется столько раз, пока не будут замещены все логические переменные.

Для МЛВМ систем ФАЛ может быть представлен в любом виде; в логическом и в виде систем уравнений, причём для каждого уравнения всё работает.

I. f(x) – ФАЛ, x – вектор логических переменных. i = 2…n,

Например:

1. f(x) = x₁ f(x₁) – это бесповторная форма, допускающая замещение.

2. 

• последовательное соединение некоторой группы:

тогда x_i , i=1..k - бесповторные.

Как правило, в таких формах логические переменные, которые можно заместить, являются бесповторные логические переменные.

3. Исключение логических переменных из СФФВ осуществляется путём реализации алгоритма разрезания с выносом этой логической переменной за СФФВ и замещением её вероятностными показателями.

4. Можно исключать бесповторные логические функции из СФФВ.

Безповторная логическая функция (БЛФ) – функция, которая не входит как функция ни в одну другую смешанную.

5. Обработка каждого слагаемого в СФФВ может осуществляться отдельно.

Пример:

Расчет мостика модифицированным логико-вероятностным методом.

Заменяем логическую переменную

Используем алгоритм разрезания:

Из первого слагаемого исключаем эту логическую функцию, отбрасываем первое слагаемое(так как первое и второе слагаемые не пересекаются).

- это вероятностное значение первого слагаемого.

Алгоритм разрезания:

Для второго слагаемого также будем использовать алгоритм разрезания. Будем использовать алгоритм разложения по двум переменным: и

Таким образом мы получим все вероятностные составляющие.

Итак, показатель надежности для мостика:

Итак, на первом шаге исключаем 2 переменные: , . Потом исключаем еще одну: .