- •1. Матрицы и основные операции над ними.
- •2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.
- •3. Умножение матриц.
- •4. Определители матриц второго и третьего порядка.
- •6. Свойства определителей.
- •9. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в линейном виде.
- •11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- •13. Системы линейных однородных уравнений. Свойства. Фундаментальное решение.
- •14. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.
- •15. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
- •16. Линейное пространство.
- •17. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •18. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- •21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
- •22. Линейные преобразования. Свойства.
- •24. Ранг и дефект линейного преобразования.
- •2 5. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексного числа.
- •27. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.
- •28. Линейная модель обмена.
- •29. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.
- •30. Канонический вид квадратичной формы.
- •32. Критерий Сильвестра.
- •33. Уравнения прямой в двухмерном пространстве.
- •34. Кривые второго порядка. Эллипсы.
- •35. Кривые второго порядка. Гиперболы.
- •36. Уравнение прямой в трехмерном пространстве.
- •37. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве.
- •38. Углы между плоскостями и прямыми.
- •39. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •40. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.
Вопросы к экзамену.
1. Матрицы и основные операции над ними.
Матрицей будем называть таблицу размером mn, которая содержит m строк и n столбцов. Матрицу записываем в виде
Операции над матрицами.
Транспонированием матрицы называется операция, при которой меняются местами строки и столбцы матрицы. Обозначается:
Умножением матрицы на число называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен произведению элемента данной матрицы на данное число. То есть:
Суммой двух матриц называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен сумме элементов данных матриц. То есть:
Произведением двух матриц A и B называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы C равен:
2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.
Матрица, содержащая только одну строку или один столбец, называется вектор строкой или вектор столбцом.
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.
Матрица, все элементы главной диагонали которой не равны нулю, а все остальные элементы равны нулю, называется диагональной, то есть:
.
Матрица, число строк и число столбцов которой равны, называется квадратной (в противном случае прямоугольной).
В случае если все элементы главной диагонали матрицы равны 1, а остальные 0, то матрица называется единичной:
Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N-мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x =(x1, x2,...,xN)t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами (x1, x2,...,xN).
3. Умножение матриц.
Пусть даны две матрицы и , таких что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Тогда произведением матриц и называется матрица ,каждый элемент которой Cij равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В, т.е.
Пример умножения матриц:
4. Определители матриц второго и третьего порядка.
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое
Рассмотрим определители для матриц второго и третьего порядков:
Пусть ,тогда
Из формулы следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Пусть , тогда
Существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.
Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2 .
схема 1 схема 2
5. Обратная матрица и её нахождение.
Алгебраическим дополнением элемента аij квадратной матрицы называется число Аij ,вычисляемое по формуле:
где Mij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j .
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если
,где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где Аij -алгебраические дополнения элемента аij матрицы .