- •1 Вопрос
- •Связанные определения
- •[Править]Примеры
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •Определение
- •[Править]Замечание
- •[Править]Примеры
- •[Править]Алгоритм Евклида
- •[Править]Свойства евклидовых колец
- •[Править]Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос Факторкольцо
- •[Править]Связанные теоремы
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
8 Вопрос Факторкольцо
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Факторкольцо́ — в абстрактной алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца K по модулю его идеала J.
Обозначается K / J.
Классы вычетов по модулю идеала J определяются как смежные классы кольца K по аддитивной подгруппе J. Класс вычетов, содержащий элемент a обычно обозначается . Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.
Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:
(a + J) + (b + J) = (a + b) + J
(a + J)(b + J) = ab + J
[Править]Связанные теоремы
Теорема о гомоморфизме колец:
Если f — гомоморфизм кольца K на кольцо R, то ядро является идеалом кольца K, причём кольцо R изоморфнофакторкольцу .
Обратно: если J — идеал кольца K, то отображение , определяемое условием является гомоморфизмом кольца J на K / J с ядром J.
Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.
Факторкольцо кольца целых чисел по модулю главного идеала, порождённого простым числом p, является полем.
Идеал J кольца K является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо K / J является целостнымкольцом (полем).
9 Вопрос
В тетради
По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образуеткоммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.
Связанные определения
Характеристика поля — наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю: Если такого числа не существует, то характеристика равна 0 по определению.
Подполем поля k называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в k. (Подполем поля k называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в k, несущим множеством которого является подмножество несущего множества k)
Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.
[править]Свойства
Характеристика поля всегда 0 или простое число.
Поле характеристики 0 содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .
Поле простой характеристики p содержит подполе, изоморфное полю вычетов .
Количество элементов в конечном поле всегда равно pn — степени простого числа.
При этом для любого числа вида pn существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pn элементов, обычно обозначаемое .
Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
В поле нет делителей нуля.
[править]Примеры множеств, являющихся полями
— рациональные числа,
— вещественные числа,
— комплексные числа,
— поле вычетов по модулю p, где p — простое число.
— конечное поле из q = pk элементов, где p — простое число, k — натуральное.
— поле рациональных функций вида f / g, где f и g — многочлены над некоторым полем (при этом , а f и g не имеют общих делителей, кроме констант).
Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.