3 Вопрос

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).

[править]Следствия

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G(обозначается [G:H]).

2. Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.

3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.

4. Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)

Доказательство

4 Вопрос

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n из N и любого g из G, элемент gng ^{− 1} лежит в N:

 

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого g из G,  .

2. Для любого g из G, gNg ^{− 1} = N.

3. Множества левых и правых смежных классов N в G совпадают.

4. Для любого g из G, gN = Ng.

5. N — объединение классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

[править]Примеры

• {e} и G — всегда нормальные подгруппы G. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа Gназывается простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы N абелевой группы G нормальны, так как gN = Ng. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

[править]Свойства

• Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.

• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.

• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.

• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p — наименьший простой делитель порядка G, то любая подгруппа индекса pнормальна.

• Если N — нормальная подгруппа в G, то на множестве левых (правых) смежных классов G / N можно ввести групповую структуру по правилу

(g₁N)(g₂N) = (g₁g₂)N

Полученное множество называется факторгруппой G по N.

• N нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N.