4 Интегрирование функции комплексного переменного

4.1 Интеграл по кривой и его вычисление

Определение 1. Кривой в комплексной плоскости называется образ отрезка при непрерывном отображении , где , тогда называется началом, а называется концом кривой.

Определение 2. Кривая называется гладкой, если функция имеет во всех точках отрезка непрерывные производные, отличные от нуля.

Определение 3. Кривая называется кусочно-гладкой, если она может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых представляет собой гладкую кривую.

Пусть однозначная функция определена и непрерывна в области ; – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в .

По определению

. (47)

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Пусть однозначная функция непрерывна в области , тогда интеграл от этой функции вдоль любой кусочно-гладкой кривой , содержащейся в области , существует.

Заметим, что функции и , будучи действительной и мнимой частями непрерывной функции, сами являются непрерывными функциями двух действительных переменных. Кривая – кусочно-гладкая, значит выполняются все условия теоремы существования обычного криволинейного интеграла, т.е. если , то

(48)

– вычисление интеграла (47) сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов второго рода. Заметим, что интеграл (47) зависит, вообще говоря, от пути интегрирования .

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , (или в комплексной форме ), начальная и конечная точки кривой соответствуют значениям параметра .

Тогда

. (49)

Если аналитична в односвязной области , , – какая-либо первообразная для ( ), то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (50)

Справедлива формула интегрирования по частям:

, (51)

где , – аналитические функции в односвязной области , – произвольные точки этой области.

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда

(52)

Если функция является многозначной, то для вычисления интеграла указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется при этом. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования замкнут, то начальной точкой пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции.

Так как определение интеграла от функции комплексного переменного почти не отличается от определения криволинейного интеграла от функции действительного переменного, то и свойства криволинейного интеграла от функции действительного переменного можно перенести на случай комплексного переменного.

Пример 1. Вычислить по кривой , соединяющей точки .

Для параболы имеем , . По формуле (48) .

Пример 2. Вычислить , где – дуга окружности , .

Положим , . Тогда , и по формуле (49) находим:

.

Пример 3. Вычислить .

Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то по (50) найдем: .

Пример 4. Вычислить .

Функции и аналитичны всюду. По формуле (51) получим:

.

Пример 5. Вычислить ,

.

Функция является многозначной: , ; . Условию удовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой . Действительно, при (и так как ) . Полагая теперь , на кривой , находим , и, следовательно, .