Вопросы для самоконтроля
Запишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида и
изобразите его.
Какую поверхность определяет уравнение
Запишите каноническое уравнение двуполостного гиперболоида и
изобразите его.
Сформулируйте определение сферы, запишите каноническое уравнение сферы и изобразите ее.
Однополостный гиперболоид рассекаем плоскостью
.Какая
кривая будет в сечении?Сформулируйте определение цилиндрической поверхности.
Какую поверхность определяет уравнение
Запишите каноническое уравнение эллиптического параболоида и
изобразите его.
Запишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра и
изобразите его.
Запишите каноническое уравнение параболического цилиндра и изобразите его.
Двуполостный гиперболоид рассекаем плоскостью
.
Какая кривая будет в сечении?Круговой цилиндр рассекаем плоскостью
.
Какая кривая будет в сечении?Запишите каноническое уравнение конуса и изобразите его.
Какую поверхность определяет уравнение
Какую поверхность определяет уравнение
Эллиптический параболоид рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?
Гиперболический параболоид рассекаем плоскостью . Какая кривая будет в сечении?
Какую поверхность определяет уравнение
?Какую поверхность определяет уравнение
?Какую поверхность определяет уравнение
?
Практическое занятие № 6
Задача 1
Составить уравнение
сферы радиуса
с центром в точке
.
Решение.
Подставляя в
уравнение сферы
,
,
и
,
будем иметь
,
или
.
Ответ.
Задача 2
Определить координаты центра сферы и ее радиус
.
Решение.
Приведем данное уравнение к виду:
Сгруппировав переменные выделим полные квадраты относительно этих переменных, получим
.
Приведем подобные слагаемые и получим уравнение
Рисунок
106
.
Каноническое
уравнение сферы центр которой находится
в точке с координатами
и радиусом
.
Ответ.
,
точка
Задача 3
Изобразить
поверхность
.
Р
ешение.
.
Возведем в квадрат правую и левую части
равенства и перенесем переменные в одну
сторону,
.
Получили каноническое
уравнение сферы с центром в точке
и радиусом
.
Так как
,
то искомой поверхностью является
полусфера. Рисунок 107
Задача 4
Изобразить
поверхность
исследовав ее методом параллельного
сечения.
Решение.
Приведем данное
уравнение
к каноническому виду:
т.е разделим правую и левую части
исходного уравнения на 64 и получи:
.
1) Рассмотрим
сечение данной поверхности плоскостями
,
параллельными плоскости
.
Раскроем модуль:
.
Тогда уравнение запишется в виде:
.
О
ДЗ:
.
.
Разделим правую
и левую части уравнения на
,
получим:
.
В сечении эллипсоида данными плоскостями, мы будем получать эллипсы разных полуосей.
Причем, при
мы получим эллипс, который имеет
максимальное значение полуосей:
.
При
и
значение полуосей будет уменьшаться.
При
получаем систему уравнений
Данной системе
уравнений удовлетворяют точки с
координатами
и
.
В данных точках
и
эллипсоид пересекает ось
2) Рассмотрим
сечение поверхности плоскостями
,
параллельными плоскости
.
Раскроем модуль:
.
Следовательно, исходное уравнение
примет вид:
.
Аналогично первому
случаю находим ОДЗ. ОДЗ:
.
Разделим обе части
уравнения на
,
получаем:
.
В сечении эллипсоида
данными плоскостями, мы будем получать
эллипсы разных полуосей. Причем, при
мы получим эллипс, который имеет
максимальное значение полуосей:
.
При
и
значение полуосей будет уменьшаться.
При
,
(решая аналогично 1), получаем две точки
с координатами
и
.
В данных точках
и
эллипсоид пересекает ось
.
3) Рассмотрим
сечение поверхности плоскостями
,
параллельными плоскости
.
Раскроем модуль:
.
Значит исходное уравнение примет вид:
.
ОДЗ:
.
После деления данного уравнения на
правую часть получим уравнение:
,
при
В сечении эллипсоида
данными плоскостями, мы будем получать
эллипсы разных полуосей. Причем, при
мы получим эллипс, который имеет
максимальное значение полуосей:
.
При
и
значение полуосей будет уменьшаться.
При
мы получим две точки с координатами
и
.
В данных точках
и
эллипсоид пересекает ось
.
Рисунок 108
Задача 5
Вывести уравнение
геометрического места точек, разность
расстояний которых до двух данных точек
и
есть величина постоянная равная 6.
Решение.
Возьмем произвольную
точку
в пространстве
.
Тогда
; 
.
Так как разность расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная равная 6, то имеем следующее выражение
.
Раскроем модуль и возведем в квадрат левую и правую части равенства.
,
.
Упростим данное равенство и корень
квадратный перенесем в левую часть, а
все остальное в правую часть.
.
.
Еще раз возведем в квадрат левую и правую части равенства.
.
Раскроем скобки,
упростим выражение и приведем к
каноническому виду.
,
- двуполостный
гиперболоид.
Ответ.
З
адача
6
Изобразить тело,
которое определяется следующим
соотношением
.
Решение.
Уравнения
и
определяют сферы с общим центром в точке
с координатами
и радиусами
,
соответственно.
Рисунок 109
Множество точек пространства, которые равноудалены от точки на расстояние не менее 2 и не более 6.
Задача 7
Найдите уравнения
линии пересечения поверхностей
и
.
Решение.
Д
анные
уравнения определяют круговой параболоид.
Для нахождения линии пересечения
составим систему уравнений и решим ее.
Получили уравнения
окружности с центром в точке
и
,
которое находится в плоскости
.
При
две поверхности пересекаются по
окружности
.
Рисунок 110
Задача 8
По какой линии
пересекается конус
с плоскостью
.
Решение.
Составим систему уравнений и решим ее.
Рисунок 111
Данное уравнение в плоскости определяет гиперболу.
З
адача
9
Какую поверхность определяет уравнение ?
Решение.
Перепишем данное
уравнение в виде
,
следовательно,
или
.
Рисунок
112
Каждое из этих
уравнений определяет плоскость,
проходящую через ось
,
причем ось
является прямой пересечения этих
плоскостей. Данное уравнение
является
пересечением двух плоскостей.
Задача 10 Какие поверхности определяются уравнениями:
1)
;
2)
;
Рисунок 113 Рисунок 114
3)
;
4)
;
Рисунок 115 Рисунок 116
5)
;
6)
;
Рисунок 117 Рисунок 118
7)
;
8)
.
Рисунок 119 Рисунок 120
Ответ.
Круговой конус, осью которого является ось .
Круговой параболоид, осью которого является ось
.Круговой конус, осью вращения которого совпадает с осью .
Двуполостный гиперболоид вращения, ось вращения которого совпадает с осью .
Однополостной гиперболоид, ось которого совпадает с осью .
Однополостный гиперболоид, ось которого совпадает с осью .
Эллиптический параболоид.
Гиперболоид вращения.
Задача 11
Какие поверхности определяют уравнения
1)
; 2)
; 3)
; 4)
?
Решение.
Каждое из этих
уравнений содержит только две переменные
и
,
и определяет на плоскости
кривые: 1) окружность; 2) эллипс; 3) параболу;
4) гиперболу.
В пространстве же
каждое из них определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными
оси
,
так как эти уравнения не содержат
переменной
.
Направляющими этих цилиндрических
поверхностей служат указанные кривые:
1) - уравнение прямого кругового цилиндра;
Рисунок 121
2
)
- уравнение эллиптического цилиндра;
Рисунок 122
3) - уравнение параболического цилиндра;
Рисунок 123
4
)
- уравнение гиперболического цилиндра.
Рисунок 124
Задача 12
Установите, какие линии определяются следующими уравнениями:
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) Уравнение определяет плоскость , а уравнение определяет плоскость . Пересечением данных двух плоскостей и является ось аппликат;
2) Уравнение
определяет плоскость параллельную
плоскости
и отстоящую от нее на расстояние равное
2, а уравнение
определяет плоскость
.
Пересечением данных двух плоскостей
прямая, проходящая через точку
и параллельная оси
;
3)Уравнение
определяет плоскость параллельную
плоскости
и отстоящую от нее на расстояние равное
2, а уравнение
определяет плоскость параллельную
плоскости
и отстоящую от нее на расстояние равное
5. Пересечением данных двух плоскостей
является прямая, проходящая через точку
и параллельная оси
;
4) Уравнение
определяет сферу с центром в точке с
координатами
и радиусом
,
а уравнение
определяет плоскость параллельную
плоскости
и отстоящую от нее на расстояние
равное 2. Пересечением
данной поверхности с плоскостью является
окружность, которая задается уравнением
.
Задача 13
Установить при каких значениях
плоскость
пересекает эллиптический параболоид
:
а) по эллипсу; б) по гиперболе; в) по параболе.
Решение.
Запишем систему
двух линейных уравнений и решим ее.
.
Приведем данное уравнение к каноническому
виду.
,
,
,
.
а
)
по эллипсу
т.е
.
б) по гиперболе
,
т.е
.
или
в) по параболе
,
,
, 
,
при
:
, 
,
-уравнение параболы.
Ответ. а)
,
б)
,
в)