Методические указания / до виконання завдань блоку змістових модулів 3

Побудова натуральної величини фігури перерізу

проекціювальною площиною

На рисунку 3.2 (а, б, в) показана побудова проекцій ліній перетину геометричних фігур проекціювальними площинами. Щоб визначити натуральну величину фігури, обмеженою цією лінією, необхідно скористатися методами перетворення, наприклад, методом зміни площин проекцій.

Розглянемо послідовність побудови натуральної величини фігури перетину похилою площиною (рис. 3.3):

1. Визначаємо натуральну величину фігури перетину тригранної

проекціювальної площини А-А з ребрами призми. Фронтальні проекції цих точок – 12, 22, 32, горизонтальні – 11, 21, 31. Тепер побудуємо пряму О – О (О1 – О1). Її можна розташувати в будь-якому вільному місці кресленика паралельно до А-А або лініям рамки. На рисунку 3.3 вона проведена паралельно до лінії перетину А-А. Побудови натуральної величини фігури перетину, обмеженої ламаною 1-2-3, зрозумілі з кресленика. Від прямої О – О перпендикулярно до неї проводять лінії зв'язку і відкладають відстані, узяті з горизонтальної проекції від відповідних точок 11, 21, 31 до прямої О1 – О1

3. Визначаємо натуральну величину фігури перерізу піраміди фронтально-проекціювальною площиною А-А (рис. 3.4).

Рисунок 3.3 − Побудова натуральної величини фігури перерізу призми фронтально-проекціювальною площиною

9

Як і в попередньому випадку відзначимо точки перетину (1, 2, 3) фронтально-проекціювальної площини А-А з ребрами піраміди. Фронтальні проекції цих точок – 12, 22, 32, горизонтальні проекції – 11, 21, 31. З рисунка видно, що в перетині виходить ламана лінія 1-2-3 (11, 21, 31). Для побудови натуральної величини фігури перетину перетворимо кресленик, застосовуючи метод заміни площин проекцій. Введемо нову площину П4, замінивши нею горизонтальну площину проекцій П1, паралельно до лінії перетину А – А. Подальші побудови зрозумілі із кресленика. Нагадуємо:

−лінії зв'язку 12 – 14, 22 – 24, 32 – 34 перпендикулярні до осі Х24;

−відстані 124 – 14, 224 – 24, 324 – 34 відповідно дорівнюють відстаням 112 – 11, 212 – 21, 312 – 31, оскільки в новій площині завжди

відкладають координати тієї площини, яку вона замінила. У цьому випадку площина П4 замінила П1;

−вісь Х24 (на рисунку 3.4 (б) їй відповідає пряма О-О). У цьому випадку необхідно витримувати відстані 124 – 224 і 224 – 324. горизонтальні проекції точок 11, 21, 31 збігаються з горизонтальними проекціями ребер призми а1,b1, с1.

−визначити натуральну величину фігури перерізу циліндра фронтально-проекціювальною площиноюА– А.

а б

Рисунок 3.4 – Побудова натуральної величини фігури перерізу піраміди фронтально-проекціювальною площиною

10

Лінія перетину циліндра площиною (рис. 3.5), яка не паралельна до його твірної або до основи є еліпс. Побудову натуральної величини фігури перерізу, обмежену цією еліптичною лінією, знаходимо вже відомим способом. Виберемо вісь симетрії О – О

(О1 – О1).

Визначимо велику (12 – 42) і малу (31 – 31′) осі еліпса. Для визначення величини великої осі еліпса продовжимо лінію сліду січної площини А-А й абрисну твірну циліндра до їхнього перетину в точці 12. Більша вісь розташована між фронтальними проекціями точок 12 і 42, мала вісь дорівнює діаметру циліндра. По двох осях будуємо еліпс, розташувавши його велику вісь по лінії симетрії О – О (рис. 3.5). При цьому вісь можна розташувати довільно. Далі будуємо малу вісь, що проходить перпендикулярно до великої осі через її середину. Поза двома осями відомим графічним способом будуємо еліпс. Обмежимо лінією 2 – 2' ту його частину, що перебуває в зоні поверхні циліндра. Натуральна величина фігури перерізу розташована між хордою 2 – 2' і дугою еліпса 2-4-2'. Побудови зрозумілі з кресленика.

Оскільки в цьому випадку вісь симетрії О-О не паралельна до лінії перетину А-А, необхідно вказати, що переріз повернуто (символ

).

Рисунок 3.5 − Приклад побудови натуральної величини фігури перерізу циліндра фронтально-проекціювальною площиною

11

Побудова конічних перерізів (рис. 3.6).

Залежно від кутів нахилу твірної конуса й січної площини Σ2 до основи конуса одержуємо наступні геометричні фігури:

−β < α – у перетині виходить еліпс (рис. 3.6, а);

−β = α – у перетині виходить парабола (рис. 3.6, б);

−β > α − у перетині виходить гіпербола (рис. 3.6, в).

Якщо січна площина Σ2' паралельна до основи конуса, то в перетині виходить фігура, подібна до фігури основи. Якщо конус прямий круговий, то це коло (рис. 3.6, а).

З рисунку 3.7 бачимо, що кут нахилу січної площини А-А β менше кута нахилу твірної конуса α, і значить у перетині виходить фігура еліпса.

Продовжимо лінії січної площини А-А й твірну конуса до їхнього взаємного перетину (точка 12). Велика вісь еліпса дорівнює відстані 12-42 (рис. 3.7, а). Щоб знайти малу вісь еліпса, необхідно зробити деякі додаткові побудови. Розділимо відрізок 12-42 навпіл точкою 3 (32, 31). Через точку 1 проведемо допоміжну площину Σ, паралельно до основи конуса. У цій площині розташована мала вісь,

що є хордою 3-3 (31-31) кола l (l1).

Побудова натуральної величини фігури еліпса за двома осями показано на рисунку 3.7 (б). Оскільки конус обмежений основою (q2, q1), то фігура перерізу представляє собою частину еліпса (вона заштрихована), яка відсічена хордою 2-2 (21-21).

12

β

α

q2

l2 =Σ2

q1

Рисунок 3.7 – Побудова натуральної величини фігури перерізу конуса фронтально-проекціювальною площиною

На рисунку 3.8 показана побудова трьох проекцій і проекцій ліній перетину поверхонь, фігури перерізу й необхідні розрізи геометричної моделі із двома отворами. Шестигранна піраміда має циліндричний отвір, який розташований уздовж осі піраміди, і трикутний призматичний отвір, розташований перпендикулярно до осі піраміди.

13

2. Знаходять спільні точки 1, 2 і 3, 4 на перетині отриманих допоміжних ліній m і l та n і k.

Рисунок 3.9 – Побудова лінії перетину двох поверхонь (метод допоміжних січних площин)

Такі побудови повторити декілька разів. Якщо перетинаються криволінійні поверхні, то, лінія перетину уявляє собою криву лінію, а тому отримані точки з’єднують за допомогою лекала. Лінія перетину многогранників являє собою відрізки прямих.

Посередниками в залежності від характеру поверхонь, що перетинаються, можуть бути:

−площини окремого положення (площини рівня, проекціювальні);

−сферичні поверхні.

Найчастіше використовуються перші три варіанта. Вибір посередників визначається з тієї умови, щоб при перетині посередника із заданими поверхнями отримувати прості для побудови лінії – прямі або кола.

Завдання на побудову лінії перетину двох поверхонь значно спрощується, якщо хоча б одна з поверхонь є проекціювальною (рис. 3.10). У цьому випадку одна із проекцій лінії перетину вже відома і залишається побудувати другу проекцію, за належністю не проекціювальній поверхні (рис. 3.10).

15

Кресленик 1

Побудова лінії перетину поверхонь, одна з яких є

проекціювальною.

Цей випадок розглянемо на прикладі поверхонь, з яких одна – прямий круговий конус, а інша – фронтально-проекціювальна трикутна призма. Кожна грань призми (рис. 3.10) є фронтальнопроекціювальною площиною, тому, фронтальна проекція лінії перетину вже є. Верхня грань призми перетинає конус по колу, яке визначається січною площиною ∆4 (∆24). Інші дві грані розрізають конус по кривих, що є ланками еліпса. Отже, зазначені лінії будуємо за відомою проекцією точки, що належить поверхні конуса. Горизонтальна проекція дуги 11 – 21 визначається площиною ∆4, а горизонтальні проекції ланок 11 – 31 і 21 – 31 будуємо за відповідною кількістю точок, певним чином обраних у зазначених межах за допомогою січних площин-посередників ∆1(∆21) – ∆3(∆23).

Кресленик 2

Спосіб концентричних сфер

Спосіб концентричних сфер ґрунтується на положенні, що дві поверхні обертання, які мають спільну вісь, перетинаються по паралелям. Отже, спосіб концентричних допоміжних сфер можна застосувати для розв'язання завдань за таких умов:

−з точки перетину осей заданих поверхонь як із центра проводять допоміжні сфери;

−знаходять кола, за якими допоміжні сфери перетинаються окремо з кожною із заданих поверхонь;

−знаходять спільні точки перетину утворених кіл.

На рисунку 3.13 задано циліндр і конус, осі яких перетинаються. Треба побудувати лінію перетину поверхонь. Опорні точки 12 і 52 перетину обрисних твірних знаходять безпосередньо з кресленика. З точки 02 перетину осей циліндра і конуса ставлять перпендикуляр до обрисної твірної конуса. Довжина даного перпендикуляра є радіусом мінімальної допоміжної сфери, вписаної в конус. Ця сфера торкається конуса і перетинає циліндр і конус по колах, які проекціюються на площину П2 у прямі лінії. Перетин цих ліній дає проекцію 22 шуканої точки. Збільшуючи радіуси допоміжних сфер,

18