Методические указания / до виконання завдань блоку змістових модулів 2
.pdf
Рисунок 3.3 – Визначення дійсної величини відрізка методом прямокутного трикутника
Якщо необхідно визначити тільки натуральний розмір відрізка, достатньо побудувати тільки один із трикутників. При цьому відкладати завжди потрібно різницю тих координат, що відсутні на даній площині проекцій.
За умовами завдання точка А (А1 , А2) належить площині. Отже необхідно:
а) З точки А (А1 , А2) (рис. 3.4) провести перпендикуляр довільної довжини, обмеживши його, припустимо, точкою М (М1 , М2); б) Визначити дійсний розмір (А1М0) одержаного відрізка АМ методом прямокутного трикутника;
в) На натуральному розмірі А1М0 відкласти задану довжину [А1В0] = 20 мм і зворотнім проекціюванням визначити шукану проекцію перпендикуляра, тобто АВ (А1В1 , А2В2);
г) Для побудови паралельної площини Θ (а, b) на заданій відстані АВ (А1В1 , А2В2) на комплексному кресленику досить провести проекції прямих, що перетинаються у точці В (В1 , В2), які відповідатимуть сформульованій графічній умові (рис. 3.1).
Тобто а1 // h1 , а2 // h2, та b1 // f1 , b2 // f2.
9
Рисунок 3.4 – Приклад побудови перпендикуляра до площини
Кресленик 2
Лінії окремого положення у площині. Серед множини прямих, що належать площині, можна виділити такі, що займають особливе положення відносно площин проекцій. Такі прямі називають
головними лініями площини. До них відносяться:
а) прямі лінії, паралельні одній із площин проекцій, це
горизонтальні h (h1,h2,h3) (рис. 3.5), фронтальні f (f1,f2,f3)
(рис. 3.6) і профільні прямі р (p1,p2,p3) (рис. 3.7);
б) лінії найбільшого нахилу площини до відповідної площини проекцій – це лінії, перпендикулярні до горизонталей, фронталей або профільних прямих площини (рис. 3.9).
Таким чином:
горизонталлю називається така пряма лінія, яка належить площині ∑ і паралельна горизонтальній площині проекцій;
фронталлю називається така пряма лінія, яка належить площині ∑ і паралельна фронтальній площині проекцій;
профільною прямою називається така пряма лінія, яка належить площині ∑ і паралельна профільній площині проекцій;
лінією найбільшого нахилу площини ∑ до площин проекцій Π1, Π2, або Π3 зветься така пряма, яка належить
площині ∑ і перпендикулярна відповідно або горизонталям, або фронталям, або профільним прямим цієї площини.
10
Рисунок 3.5 – Головна лінія площини – горизонталь
Рисунок 3.6 – Головна лінія площини – фронталь
Рисунок 3.7 – Головна лінія площини – профільна пряма
11
Ця умова використовується у випадках, коли площина задана не слідами. Якщо площина ∑ задана слідами, то замість горизонталі, фронталі чи профільної прямої можна скористатися відповідними слідами, оскільки сліди – це нульові лінії рівня.
За допомогою лінії найбільшого нахилу визначають кути нахилу площин загального положення (наприклад, ∑ ) до заданої площини проекцій.
Нагадаємо теорему про проекціювання прямого кута: прямий кут проекціюється без спотворення на дану площину проекцій, якщо одна сторона його паралельна цій площині, а інша не перпендикулярна до неї. Для доказу цього твердження розглянемо спочатку прямий кут АВС, площина якого паралельна до П1 (рис. 3.8). Зрозуміло, що на цю площину він відобразиться без спотворення. Тобто будемо мати АВС = А1В1С1. Проекціювальні промені АА1, ВВ1 і СС1 утворили у просторі дві площини – і Σ, які перетинаються по прямій ВВ1 і перпендикулярні до П1. Вони перпендикулярні і між собою, тому мірою цього двогранного кута є кут А1В1С1. Внаслідок цього і в зв'язку з тим, що ВС АВ (з умови), то ВС , і ВС буде перпендикулярною до будь-якої прямої А'В, розташованої у площині , яка проходить через точку В. Це дозволяє зробити висновок, що кут А'ВС = 90° (φ = 90°), а його проекцією на П1 може бути тільки кут А1В1С1. Таким чином, наше твердження доведене.
Рисунок 3.8 – Проекціювання прямого кута на площину проекцій (теорема про проекціювання прямого кута)
12
Беручи до уваги теорему про проекціювання прямого кута, визначимо схему побудови кута нахилу площини. Наприклад, для знаходження кута α будуємо в площині лінію найбільшого нахилу п перпендикулярно до горизонтального сліду h0 =h01 (або до будь-якої горизонталі h цієї площини). На комплексному кресленику за умовою теореми горизонтальна проекція п1 повинна також бути перпендикулярною до горизонтальної проекції h01 горизонтального сліду h0 площини Σ (або до горизонтальної проекції h1 горизонталі h). Фронтальна проекція п2 лінії найбільшого нахилу п визначається за умовою її належності до площини Σ, тобто горизонтальний слід М(М1, М2) і фронтальний слід N(N1, N2) цієї прямої повинні належати однойменним слідам площини (рис.3.9).
Рисунок 3.9 – Схема побудови кута нахилу площини
Кут між лінією найбільшого нахилу п та її горизонтальною проекцією n1 є кут нахилу площини Σ до горизонтальної площини проекцій, тобто кут α.
13
Завдання 5
Кресленик 1
Визначення найкоротшої відстані від точки А до площини.
Скористаємося методом заміни площин проекцій. Спочатку окремо розглянемо перетворення за цим методом площини загального положення у проекціювальне.
На рисунку 3.10 зображена площина Σ (h0 ∩ f0) загального положення, задана своїми слідами. Замінимо фронтальну площину проекцій П2 на П4. Нова площина П4 перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій П1 і до горизонтального сліду h0≡h01 площини Σ. В результаті площина Σ перетворилася у проекціювальну площину.
Перетин П4 з П1 визначає нову вісь проекцій x14, внаслідок чого у новій системі площин проекцій П1/П4 автоматично одержуємо нову точку збігу слідів Σ x14.
Щоб визначити новий фронтальний слід f40 площини Σ, треба визначити ще одну точку, наприклад довільну точку N, через яку він має проходити. Проекцію точки N4 можна побудувати, якщо в площині Σ провести горизонталь h (h1, h2) через вказану точку N (N1, N2). Кут α, що утворився між новою віссю проекцій x14 і новим фронтальним слідом f40, є натуральною величиною кута нахилу площини Σ до П1.
Рисунок 3.10 – Перетворення площини загального положення у проекціювальну площину
14
На рисунку 3.11 визначена натуральна величина відстані від точки А(А1, А2) до площини загального положення Σ(h0 ∩ f0). Побудова не потребує додаткових пояснень.
Аналогічно розв'язується ця задача і в будь-якому іншому випадку, коли площина задана не слідами. На рисунку 3.12 розглянуто випадок, коли площина задана двома паралельними прямими т(т1,т2) і n(n1,n2). Щоб здійснити необхідні перетворення, в площині проводимо довільну горизонталь (або фронталь, чому?). Шукана величина дорівнює відрізку А4К4. Одночасно знайдено і натуральну величину кута α (а як за цим методом визначити кут β?).
Рисунок 3.11 – Приклад визначення дійсної величини від точки А до площини (площина задана слідами)
Визначення натуральної величини плоскої фігури.
Площина трикутника АВС є площиною загального положення
(рис. 3.13).
Застосуємо метод заміни площин проекцій. Щоб перетворити цю площину у площину рівня, треба по черзі виконати дві заміни. За допомогою першої задану площину перетворюємо у проекціювальну (наприклад, у фронтально-проекціювальну).
15
Рисунок 3.12 – Приклад визначення дійсної величини відстані від точки до площини (площина задана двома паралельними прямими)
Для цього в площині трикутника проведемо горизонталь h (h1 , h2) і замінимо фронтальну площину проекцій П2 на нову П4 так, щоб остання була перпендикулярною до горизонталі.
Рисунок 3.13 – Визначення дійсної величини плоскої фігури методом заміни площин проекцій
За такої умови П4 буде перпендикулярною до П1, що обов'язково повинно виконуватися при заміні площин проекцій. З другого боку, якщо пряма h, що належить площині трикутника, перпендикулярна до П4, то і площина трикутника буде
16
перпендикулярною до П4, тобто у новій системі П1/П4 вона буде фронтально-проекціювальною. На комплексному кресленику (рис. 3.12) така заміна еквівалентна проведенню нової осі х14, перпендикулярної до h1, а нова фронтальна проекція А4В4С4 побудована за правилом заміни площин проекцій.
Введенням нової осі проекцій х45 здійснена заміна горизонтальної площини П1 на П5 таким чином, щоб площина трикутника стала паралельною до нової площини П5. Таким чином нова горизонтальна проекція А5В5С5 є шуканою дійсною величиною трикутника АВС.
Визначення найкоротшої відстані між двома мимобіжними прямими. Скористаємося методом заміни площин проекцій
(рис. 3.14).
Рисунок 3.14 – Визначення найкоротшої відстані між двома мимобіжними прямими
Схема побудови наступна. Одну з прямих, наприклад, СD, перетворюємо спочатку в пряму рівня, а потім в проекціювальну пряму. Першу заміну виконаємо так, щоб нова площина проекцій П4, стала паралельною до прямої СD і одночасно перпендикулярною до П1. Внаслідок цього на комплексному кресленику з'являється нова вісь проекцій x14, яка має бути паралельною до горизонтальної
17
проекції С1D1 прямої СD (x14 = П1 ∩ П4), x14 || С1D1. Побудову проекцій A4B4 і C4D4 показано на рисунку 3.12. Отже, у новій системі
площин проекцій П1/П4 пряма СD займає положення лінії рівня. Для перетворення її у проекціювальну пряму необхідно замінити горизонтальну площину проекцій П1 на П5 так, щоб вона була розташована перпендикулярно до П4 і до прямої СD. Ця дія на комплексному кресленику еквівалентна проведенню нової осі проекцій x45 перпендикулярно до C4D4. Нові проекції A5, B5, C5 і D5 побудовані за відомою схемою. Натуральна величина шуканої відстані визначається відрізком K5Т5 перпендикуляра, який проведений від D5 ≡ C5 ≡ K5 до A5B5. Горизонтальна (К1Т1) і фронтальна (К2Т2) проекції відрізка КТ побудовані за допомогою зворотнього проекціювання.
Визначення натуральної величини двогранного кута між двома площинами, що перетинаються. На рисунку 3.15 задані площини у вигляді трикутників АВС і АВD, для яких сторона АВ – спільна, тобто вона є лінією перетину цих трикутників, або, іншими словами, – ребром двогранного кута. За допомогою методу заміни площин проекцій перетворимо це ребро у проекціювальне. Оскільки АВ є відрізок загальногоположення, маємо зробити дві заміни.
Спочатку замінимо фронтальну площину проекцій П2 на нову П4 таким чином, щоб ребро АВ стало їй паралельним. Тоді на комплексному кресленні нова вісь проекцій х14 повинна проходити паралельно горизонтальній проекції А1В1 ребра АВ. Проводячи через А1, В1, С1, D1 лінії проекційного зв'язку, перпендикулярні до осі x14, і відкладаючи на них відрізки, позначені рисками, знаходимо нові проекції точок А4, В4, С4, D4. Наступним перетворенням слід замінити горизонтальну площину проекцій П1 на П5, щоб остання розташувалася перпендикулярно до проекції А4В4. На комплексному кресленику ця дія еквівалентна проведенню нової осі проекцій x45, перпендикулярної до А4В4. Відкладаючи на відповідних лініях проекційного зв'язку відрізки, відмічені позначками, одержимо нові проекції точок А5, В5, С5, D5, які визначають двогранний кут. Як бачимо, на П5 ребро АВ спроекціювалося в точку А5 ≡ В5, а грані АВСіАВD −впрямілінії, кутφміжякими−шукана величина.
18