Методические указания / «ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ ОБВОДУ ДЕТАЛІ»

в

Рис. 5

Спряження дуг двох кіл за допомогою прямої. Суть розв’язання цієї за-

дачі полягає в побудові дотичної до кола з довільної зовнішньої точки М (рис. 6). для цього на відрізку ОМ, як на діаметрі, будують півколо, що перетинає задане коло в точці спряження А, і проводять дотичну МА.

Рис. 6

Спряження дуг двох кіл може бути зовнішнім, якщо дуги розміщені по один бік від прямої (рис. 7, а), або внутрішнім, якщо дуги розміщені

заданим колом. Пряма спряження А1А2 паралельна дотичній О2А’.

31

Побудова коробових кривих. Коробовими називають криві, складені з дуг кіл. До них належать: овали, овоїди, завитки тощо.

Овал – це замкнена коробова крива, що має дві осі сіметрії (рис. 8). Овал визначається трьома параметрами. Звичайно, це довжина, ширина і один з радіусів або два радіуси і довжина (ширина) овала.

Один із способів побудови овалів є на основі двох однакових опорних кіл, що стискаються (рис. 8).

Рис. 8

Лекальні криві. Лекальні криві дістають за рядом точок, які послідовно сполучають дугами кривих за допомогою лекал. До лекальних належать криві другого порядку (К2П), циклоїдні криві, графіки тригонометричних функцій тощо.

Кривими другого порядку, крім кола, є: еліпс, парабола, гіпербола. Еліпс — це плоска крива, для довільної точки якої сума відстаней до двох

фіксованих точок (фокусів F1 і F2) є величина стала і дорівнює довжині 2а великої його осі (рис. 9). Мала вісь еліпса дорівнює 2Ь. Відстань 2с між фокусами F1 і F2 називають фокусною. Точка перетину осей еліпса є його центром, кінці осей — вершинами еліпса.

32

Теорія кривих другого порядку була створена ще в III—IV ст. до н. е. З того часу з'явилося багато методів графічної побудови цих кривих на основі їхніх властивостей, способів утворення, практичного застосування. Розглянемо найпростіші з них.

Перший спосіб побудови точок показано на рис. 9. Виберемо довільну, але меншу ніж 2а величину першого радіуса-вектора R1 (відстань від шуканої т- очки до фокуса Р\) і проведемо дугу кола з центром у точці R2. Визначимо довжину другого радіуса-вектора К- R2= 2а - F1 і проведемо дугу кола з центром у точці F2. Точки перетину дуг є шуканими точками М1 і М2.

Рис. 9 Рис. 10

Другий спосіб побудови точок еліпса грунтується на косокутній проекції кола, яке стискають у напрямі малої осі (одна точка зору) або розтягають у напрямі великої осі (друга точка зору). При цьому задають осі еліпса АВ і СD (рис. 10). На кінцях їх, як на діаметрах, будують велике й мале кола. В центрі еліпса проводять пучок променів, що перетинають кола у відповідних точках 1—І',2—2',.... З точок на великому колі проводять вертикальні прямі, а з точок на малому колі — горизонтальні прямі. Точками еліпса є точки перетину відповідних пар цих прямих.

Часто при побудові плоских перерізів тіл обертання треба побудувати еліпс за його спряженими діаметрами, тобто такими діаметрами, кожен з яких поділяє навпіл хорди еліпса, паралельні іншому діаметру. При проекціюванні кола, розміщеного в площині загального положення, серед множин взаємно перпендикулярних діаметрів кола тільки одна пара діаметрів проекціюється в пару також взаємно перпендикулярних діаметрів (тобто осей) еліпса. Один з діаметрів збігається з лінією рівня, а другий — з лінією найбільшого нахилу площини. Решта пар взаємно перпендикулярних діаметрів кола буде проекціюватися в спряжені діаметри еліпса.

33

На рис. 11 еліпс задано спряженими діаметрами ЕР і ОН. Для побудови його точок сторону паралелограма, що охоплює;

Рис. 11

еліпс, а також відповідний півдіаметр поділяють в одному й тому самому відношенні на довільну кількість відрізків. Точки еліпса лежать на перетині відповідних променів пучків з вершинами в точках О і R.

Якщо треба побудувати дотичну до еліпса, то слід скористатися загаль-

ним для всіх правилом; дотична в заданій точці утворює однакові кути з її радіусами-векторами (див. рис. 9), а нормаль пендикулярна до дотичної і, отже, є бїсектрисою кута між радіусами-векторами.

Параболою називають геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданих точки (фокуса Р) і прямої (директриси а), розміщених у тій самій площині (рис. 12). Побудувати параболу можна так: нa довільній відстані R від директриси проводять паралельну їй пряму, що перетинає дугу кола радіуса R з центром у фокусі F у шуканих точках М1 і М2.

Дотична до параболи є бісектрисою кута РСО і перетинає вісь у точці Tc так, що Тc0 = ОС', де С' — проекція точки С на вісь параболи.

34

Другий спосіб побудови параболи передбачає задання вершини А, осі АВ і довільної точки С (рис. 13). За цими даними будують прямокутник СВЕО, сторони якого поділяють на довільну кількість однакових відрізків. Шукані точки параболи лежать на перетині відповідних променів двох пучків: пучка прямих, паралельних осі параболи, та пучка прямих з вершиною у точці А (ліва частина) та в точці С (права частина).

При побудові обводів технічних форм часто застосовують третій спосіб побудови параболи, коли задано дві дотичні tm, tn і точки дотику М і N на них (рис. 14). Відрізки ТМ і ТN поділяють на довільну кількість рівних відрізків. Відповідні точки поділу сполучають відрізками прямих. Шукана парабола є кривою, вписаною в цей пучок прямих.

Гіпербола — це плоска крива, для довільної точки якої різниця її відстаней від двох фіксованих точок площини (фокусів F1 і F2 ) стала і дорівнює величині дійсної осі 2а гіперболи (рис. 15). Уявна вісь параболи дорівнює 2Ь, діагоналі прямокутника зі сторонами 2а і 2Ь є асимптотами гіперболи.

Гіпербола може бути заданою двома осями або однією з них і фокусною відстанню с.

Спосіб побудови точок гіперболи грунтується на її визначенні. З центра F1 проводять дугу довільного радіуса R1, а з центра F2 — дугу радіуса R1, + 2а. Перетин їх визначає точки F1 і F2. Так само будують праву гілку кривої.

Дотична до кривої в заданій точці є бісектрисою кута між двома радіуса- ми-векторами.

Циклоїдні криві (рулети) — це криві, які є траєкторією руху точки кола, що без ковзання котиться по прямій або по другому колу. У першому випадку криву називають циклоїдою. Якщо рухоме коло (твірне) розміщене поза нерухомим (напрямним) колом, то криву називають епіциклоїдою, а якщо всередині, то

— гіпоциклоїдою.

35

На рис. 16 показано побудову точок циклоїди. За один оберт твірного кола точка А знову опиниться на прямій l у точці А8 на відстані псі від її початкового положення. Поділимо цю відстань, як і саме коло, на довільну кількість однакових частин (наприклад на вісім). Через точки поділу кола проведемо горизонтальні прямі, а

точках поділу 01...,08 горизонтальної прямої, що інцидентна центру кола,

— дуги радіуса твірного кола. Точки циклоїди лежать на перетині відповідних прямих і дуг кіл. Нормаль до циклоїди в заданій точці А3 сполучає цю точку з точкою дотику З' відповідного їй кола з прямою. Дотична перпендикулярна до нормалі.

Рис. 16

Якщо точка А лежить на радіальному промені твірного кола, але всередині або зовні його, то дістають вкорочені або подовжені циклоїди, що називають трохоїдами. Для побудови точок епіциклоїди (рис. 17, a) спочатку визначають центральний кут а за формулою а = R1 • 360°/R, де R1, — радіус твірного кола; R — радіус дуги напрямного кола. Потім дугу, інцидентну центру твірного кола, в межах кута а поділяють, як і саме твірне коло, на вісім рівних ч- астин. Точки епіциклоїди лежать на перетині дуг, проведених з центра напрямного кола через точки поділу твірного кола, і відповідних дуг твірного кола, п- роведених з точок поділу O1 ...О8. Побудову нормалі та дотичної показано на рис. 17, а.

Рис. 17

Залежно від співвідношення радіусів твірного та напрямного кіл епіциклоїда має різну кількість точок на нерухомому колі. Якщо R1 = R, то епіциклоїда має одну точку і називається кардіоїдою (рис. 18).

36

Вкорочені або подовжені кардіоїди називають завитками Паскаля. Якщо радіус твірного кола дорівнює 1/2, 1/3, 1/4 тощо радіуса напрямного кола, то таких точок є відповідно 2, 3, 4 і т. д.

Побудова точок гіпоциклоїди (рис. 17, б) така сама, як і побудова точок епіциклоїди. Центральний кут а визначають так само, як і для епіциклоїди.

Вкорочені або подовжені гіпоциклоїди називають гіпотрохоїдами. Кількість точок на нерухомому колі залежить від співвідношень радіусів твірного й нерухомого кіл. На рис. 19 показано гіпоциклоїду, для якої R/R1 = 1/3. Г- іпоциклоїду, для якої R/R1 = 1/4, називають астроїдою. Якщо R/R1 = 1/2, то маємо відрізок прямої.

Побудова точок евольвенти кола. Евольвентою (розгорткою) кола нази-

вають криву, що є траєкторією точки прямої лінії, що котиться без ковзання по нерухомому колу (рис. 20). Щоб побудувати множину точок евольвенти, коло поділяють на довільну кількість (наприклад на вісім) рівних частин. З кожної точки поділу проводять дотичну до кола, на якій відкладають відрізок що дорівнює початкової точки до заданої. Здобута точка належить евольвенті.

Відносно евольвенти нерухоме коло є еволютою, тобто геометричним м- ісцем центрів кривини евольвенти. Відрізок від точки кола до точки евольвенти

37

дорівнює радіусу кривини евольвенти.

Нормаль до евольвенти в довільній точці А' є дотичною до нерухомого кола з точки А (спосіб побудови—див. рис. 21).

Евольвента є базисною кривою при профілюванні зубців однойменного зачеплення зубчастих коліс.

Побудова точок спіралі Архімеда. Спіраллю Архімеда називають криву,

утворену траєкторією точки, що рівномірно рухається вздовж радіуса-векто- ра, який, у свою чергу, рівномірно обертається навколо нерухомого центра (рис. 21). Відстань, на яку переміститься точка від центра за один оберт радіусавектора, є кроком спіралі. Спіраль має дві гілки залежно від напряму обертання радіуса-вектора (за або проти руху стрілки годинника).

Якщо задано крок спіралі, то для побудови її точок проводять коло радіусом, що дорівнює кроку, і поділяють крок спіралі та коло на довільну кількість рівних частин. Точки спіралі лежать на перетині радіальних променів, що сполучають точки поділу кола та його центр, і дуг кіл, проведених через відповідні точки поділу кроку спіралі (рис. 21).

Спіраль Архімеда застосовують у техніці, проектуючи самоцентруючі патрони, кулачкові механізми, ексцентрикові та інші пристрої.

Побудова точок синусоїди. Синусоїда — це плоска крива, утворена траєкторією точки кінця радіуса-вектора, який рівномірно обертається навколо центра і одночасно рівномірно поступально переміщується вздовж осі Ох. Синусоїда є графіком тригонометричної функції у = &тх у прямокутній декартовій с- истемі координат (рис. 22).

Рис. 22

Спосіб побудови точок синусоїди грунтується на способі її утворення. Коло заданого діаметра d, що дорівнює амплітуді синусоїди (максимальному значенню ординати), поділяють на довільну кількість рівних частин. На продовженні горизонтального діаметра кола відкладають довільний відрізок, що відповідає періоду синусоїди, і поділяють його на таку саму кількість рівних частин. Точки синусоїди знаходять як перетин горизонтальних прямих, проведених че-

38

рез точки поділу кола, і вертикальних прямих, проведених через точки поділу відрізка періоду синусоїди (рис. 22).

Для побудови дотичної в довільній точці N знаходять відповідну їй точку N' та симетричні їм точки М і М'. Через точку М' проводять евольвенту кола до перетину з дотичною, що проходить через точку М'. Точку перетину L' проекціюють на вертикальну пряму, проведену через точку М. Дістають точку L, яку сполучають з N. Це і є дотична. Так само будують дотичну в симетричній точці М. Цей спосіб побудови дотичної до синусоїди грунтується на властивостях гвинтової лінії. . Синусоїди застосовують при аналізі коливальних процесів, в кулачкових механізмах тощо.

Лекала (рис.23) являють собою лінійки з криволінійним контуром. Застосовують їх для проведення ліній, коли задано ряд точок, які не можна сполучити за допомогою лінійки або циркуля. Здебільшого використовують не одне, а кілька лекал, вибираючи на них найпридатніші для певної кривої ділянки.

Від правильного підбору лекала та послідовного з’єднання точок залежить плавність обвідки кривої.

Починати підбір лекала можна як з точки 0, так і з точки 9.

1. Наблизивши кромку лекала до заданих точок 9, 8, 7, 6 (рис. 24, б ), поступовим переміщенням в ту чи другу сторону, підбираємо таку ділянку кромки, з котрою співпали хоча б три точки: 9, 8, 7. з’єднуєм олівцем тільки дві з них – 9 та 8 і продовжуємо криву у напрямку точки 7.

2. Продовжуя переміщувати лекало, підбираємо таку ділянку її кромки, з котрою співпали наступна група точок – 8, 7, 6 (рис. 24, в) і знову з’єднуємо тільки дві з них – 8 та 7, продовжуя криву у напрямку точки 6.

3.Повертаючи лекало, наближаємо його опуклою ділянкою кромки до точок 7, 6, 5, 4. з’єднуємо точки 7, 6 та 5 і продовжуємо криву у напрямку точки 4 (рис. 24, г).

4.Продовжуємо підбір кромки лекала до точок 5, 4, 3, 2, 1 та 0 час-

тини кривої, що залишилась (рис. 24, д). Як бачимо з рисунку, кромка лекала співпадає зі всьома точками, що дає нам змогу з’єднати їх одразу і закінчити проведення кривої.

39

На рис. 24, е надано вид всіх положень лекала при обвідки кривої.

40