Kula4ok
.pdf
Касательная |
|
M |
Линия центров |
d |
R |
|
Oк
А |
К |
Нормаль А1 |
Рисунок 15 б ˘ Построение касательной и нормали к циклоиде
Построение циклоиды с помощью пакета AutoCAD
Ознакомившись с геометрическим способом построения циклоиды, покажем, как это делается с помощью пакета AutoCAD:
1.Устанавливаем слой «Вспомогательный» (Допоміжний). Задав команду «Круг», указываем центр исходной окружности циклоиды (координатамиилиспомощьюпривязки), азатемеерадиусилидиаметр.
2.С помощью команды «Массив» (Круговой), как в случае построения эвольвенты, получаем 12 элементов диаметра (точки 1,
2, 3…12), которые поделили исходную окружность с центром О0 на 12 равных частей.
3.Из точки 12≡А, предварительно активизировав окно «ОРТО», проводим отрезок с помощью команды «Отрезок» (_LINE),
причем, за начальную точку берем 12≡А, затем на запрос «Следующая точка или [отменить]» в круглых скобках пишем (* pi d). Заканчиваем двойным нажатием клавиши «Ввод».
4.Делим отрезок АА1 на 12 равных частей с помощью уже известной вам команды «Поделить», после чего из каждой точки деления восстанавливаемотрезки, перпендикулярныеотрезкуАА1.
5.Через точки деления окружности проводим прямые, параллельные АА1, спомощьюкоманды «Отрезок» (_LINE).
6.Точки пересечения этих линий с перпендикулярами,
восставленными из точек деления отрезка АА1 (уже известные вам из предыдущего геометрического построения циклоиды последовательные положения центра перекатываемой окружности) обозначаем О1, О2, О3,
…, О12.
7. С помощьюкоманды «Копировать» (COPY) скопируем исходную окружностьсцентромО0 вцентрыО1, О2, О3, …, О12.
19
8.Перейдя в слой «Осн_Конт_Внеш» («Осн_Конт_Зовн»),
соединяем точки пересечения прямых, параллельных АА1 с правыми (до вершины циклоиды) и с левыми (перейдя через ее вершину) частями построенных окружностей с помощью команды «Полилиния» (_PLINE), образуя ломаную непрерывную линию. Затем редактируем эту ломаную в последовательности: в меню
«Изменить → Объект → Полилиния → (указать полилинию курсором) → Сгладить».
9.Для построения нормали и касательной к циклоиде в какойлибо точке кривой (на рис. 15 б – это т. М) сначала с помощью команды «Круг» строим окружность (за центр берется т. М, за
радиус – радиус исходной окружности), затем находим т.Ок пересечения линии центров с этой окружностью. Вызываем команду «Отрезок» (_LINE) и опускаем перпендикуляр ОК на
линию АА1, являющейся основанием окружности с центром Ок. Затем соединяем т. К с т. М и получаем нормаль. Касательную строим перпендикулярно линии МК.
Построение синусоиды
На рис. 16 показано графическое построение синусоиды. Исходную окружность делят на произвольное равное число частей. На такое же число равных частей делят отрезок прямой АВ, равный длине заданной окружности (πd). Проведя через точки деления горизонтальные и вертикальные прямые, находят на пересечении их точки синусоиды.
Касательные к исходной окружности |
Касательные к синусоиде |
||
|
|
|
|
K' |
L' |
K |
L |
|
|
||
N' |
|
M' N |
M |
|
O |
A |
B |
|
|
|
|
πd
Рисунок 16 ˘ Построение синусоиды
20
Построение касательной к синусоиде в данной на ней точке М
ией симметричной точке N производится следующим образом:
•Проецируют точки М и N на исходную окружность (получают точки М′ и N′).
•На исходной окружности в точках М′ и N′ проводят касательные и на них откладывают отрезки N′L′ и M′K′, равные длине дуги N′ M′. В точках М и N восставляют перпендикуляры до пересечения горизонталью K′L′. МК и NL определяют касательные,
аперпендикуляры к ним – нормали. (Окружность и синусоиду здесь рассматривают, как проекции цилиндрической винтовой линии).
Построение синусоиды с помощью пакета AutoCAD
Входим в слой «Вспомогательный» (Допоміжний). Задав команду «Круг», указываем центр исходной окружности синусоиды (координатамиилиспомощьюпривязки), азатемеерадиусилидиаметр.
1.С помощью команды «Массив» (Круговой), как в случае построения эвольвенты, получаем 12 элементов диаметра (точки 1, 2, 3…12), которые поделили образующую окружность с центром О на 12 равных частей.
2.Из точки 12≡А, предварительно активизировав режим «ОРТО», проводим отрезок с помощью команды «Отрезок» (_LINE), причем, за начальную точку берем 12≡А, затем на запрос «Следующая точка или [отменить]» в круглых скобках пишем (* pi d). Вместо d подставляем его числовоезначение. Заканчиваемдвойнымнажатиемклавиши«Ввод».
3.Делим отрезок АВ на 12 равных частей с помощью уже известной вам команды «Поделить», после чего из каждой точки деления восстанавливаем отрезки, перпендикулярные отрезку АВ.
4.Через точки деления окружности проводим прямые, параллельные АВ, с помощью команды «Отрезок» (_LINE).
5.Перейдя в слой «Осн_Конт_Внеш» («Осн_Конт_Зовн»,) соеди-
няем точки пересечения прямых, параллельных АВс перпендикулярами, проведенными через точки деления АВ с помощью команды «Полилиния» (_PLINE), образуя непрерывную ломаную линию. Затем редактируемэтуломануювпоследовательности: меню«Изменить→Объект
→Полилиния→(указатьполилиниюкурсором) →Сгладить».
6.Построение нормали и касательной к синусоиде показано на рис. 16. Эти построения можно произвести с помощью команды
«Отрезок» (_LINE).
21
Приложение 1.
Варианты заданий
№ вар. |
R |
R1 |
R2 |
R3 |
a |
a1 |
b |
d |
h |
t |
d1 |
x |
x1 |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
1 |
66 |
158 |
40 |
25 |
85 |
18 |
48 |
36 |
|
|
54 |
44 |
16 |
70 |
21 |
39 |
48 |
16 |
73 |
172 |
46 |
29 |
98 |
21 |
55 |
41 |
|
|
62 |
51 |
18 |
81 |
24 |
44 |
54 |
Начинать построение контура кулачка с вычерчивания циклоиды, которая задана направляющей прямой 1 – 1, образующей окружностью диметром d1 и точкой М, которая является начальной точкой циклоиды. Построение циклоиды показано на рис. 15 (а, б).
Р – точка касания циклоиды с окружностью радиуса R
qq – прямая, касательная к окружности радиуса R в точке Q и к окружности
RХ.
nn – прямая, касательная к циклоиде в точке N и к окружности R3
При выполнении чертежа кулачка в системе AutoCAD циклоиду лучше построить в стороне от основного чертежа, расположив направляющую прямую 1 – 1 горизонтально. После окончания построения скопировать и повернуть циклоиду на нужный угол с помощью команды (Повернуть» Rotate). Затем перенести ее на чертеж, взяв за базовую точку начало циклоиды, а за точку вставки – точку М. После строить остальные участки кулачка, пользуясь правилами построения сопряжений (Рис. 2 – 10).
Параметры h и t выбрать по справочнику.
22
№ вар. |
R |
R1 |
R2 |
R3 |
a |
b |
d |
d1 |
h |
t |
x |
y |
y1 |
y2 |
2 |
120 |
100 |
50 |
30 |
80 |
48 |
48 |
40 |
|
|
48 |
36 |
66 |
14 |
17 |
138 |
115 |
58 |
35 |
92 |
55 |
55 |
46 |
|
|
55 |
41 |
76 |
15 |
Начинать построение контура кулачка с вычерчивания эллипса, (заданного полуосями а и b), и эвольвенты, для построения которой исходными данными являются окружность диаметром d1 и прямая 1 – 1, определяющая начало эвольвенты – точку F.
Вточке А эвольвента переходит в окружность радиуса R1. Для ее построения необходимо в точке А построить нормаль и касательную к эвольвенте, как это показано на рис. 14 б. На нормали сделать засечку
радиусом R1 из т. А и получить центр окружности R1. В т. В аналогично построена касательная (q – q) к эвольвенте. Она же является касательной к
окружности радиуса RХ. RХ – неизвестный радиус, который следует определить с помощью дополнительных геометрических построений, как это показано на рис. 6.
Окружность R3 строят, как показано на рис. 8 а.
Всистеме AutoCAD эллипс и эвольвенту вычерчивают по рекомендациям
вописаниях к рис. 11 и 14.
После строить остальные участки кулачка, пользуясь правилами построения сопряжений (Рис. 2 – 10).
Параметры h и t выбрать по справочнику.
23
№ вар. |
S |
a |
a1 |
b |
b1 |
d |
h |
t |
x |
x1 |
x2 |
y |
3 |
84 |
45 |
33 |
28 |
37 |
45 |
|
|
110 |
15 |
24 |
37 |
18 |
97 |
52 |
38 |
32 |
43 |
52 |
|
|
126 |
17 |
28 |
43 |
Вычерчивание контура кулачка рационально начинать с построения параболы, которая задана вершиной В и точкой С, принадлежащей параболе. Проведя ось параболы и построив прямоугольник со сторонами а1 и b1 далее вычерчиваем указанную кривую и проводим касательные по рекомендациям к рис. 13.
Далее следует строить эллипс на полуосях а и b. (Рис. 11а). Определив фокусы эллипса F1 и F2, строим касательные эллипса в точках Е и D, как это показано на рис. 11б.
Нахождение неизвестных радиусов RХ и RХ1 можно определить с помощью дополнительных геометрических построений ( см. рис. 6).
Эллипс и параболу в AutoCADе вычерчивают по рекомендациям, данным в описаниях к рис. 11 и 13.
После строить остальные участки кулачка, пользуясь правилами построения сопряжений (Рис. 2 – 10).
Параметры h и t выбрать по справочнику.
24
№ вар. |
R |
R1 |
R2 |
a |
а1 |
b |
d |
h |
t |
x |
х1 |
х2 |
y |
y1 |
y2 |
4 |
38 |
96 |
40 |
24 |
84 |
54 |
36 |
|
|
76 |
42 |
8 |
22 |
17 |
9 |
19 |
44 |
110 |
46 |
28 |
96 |
62 |
41 |
|
|
87 |
48 |
9 |
25 |
20 |
10 |
Вычерчивание контура кулачка необходимо начинать с построения параболы с вершиной А и точкой М, принадлежащей этой кривой. Проведя ось параболы и построив прямоугольник со сторонами, равными соответственно АВ и МВ вычерчиваем указанную кривую и проводим касательные к ней по рекомендациям, данным к рис. 13.
Далее, имея координаты центра, построим окружность радиуса R1 и определим на ней точки сопряжения D и F. Используя точки сопряжения и проведя через них касательные, строим окружности радиуса R и RХ. Размер радиуса RХ находим по рекомендациям к рис. 6.
В системе AutoCAD параболу вычерчивают по рекомендациям, данным в описании к рис. 13. Затем строят остальные участки кулачка, пользуясь правилами построения сопряжений (Рис. 2 – 10).
Параметры h и t выбрать по справочнику.
25
№ вар. |
R |
R1 |
R2 |
a |
а1 |
b1 |
b |
d |
h |
t |
d 1 |
х |
х1 |
S |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
5 |
30 |
51 |
153 |
12 |
9 |
43 |
51 |
36 |
|
|
48 |
87 |
105 |
60 |
6 |
50 |
42 |
20 |
20 |
35 |
59 |
176 |
14 |
10 |
49 |
59 |
41 |
|
|
55 |
100 |
111 |
69 |
7 |
58 |
48 |
23 |
Вычерчивание контура кулачка необходимо начинать с построения эвольвенты, начальная точка которой определяется прямой 1-1 (начальная ось разворачивания исходной окружности радиуса d1). Проведя в точках М и N касательные к эвольвенте (q-q и МК) (см. рис. 14 а и б), найдите точки сопряжения Р и К, а затем определите неизвестные радиусы RХ и RХ1. Все остальные окружности, определяющие участки кулачка строятся по правилам построения сопряжений ( см. рис. 2-10).
Всистеме AutoCAD эвольвенту вычерчивают по рекомендациям, данным
вописании к рис. 14.
Параметры h и t выбрать по справочнику.
26
№ вар. |
R |
R1 |
a |
b |
b1 |
d |
h |
t |
х |
х1 |
х2 |
y |
y1 |
6 |
160 |
38 |
64 |
90 |
66 |
36 |
|
|
72 |
58 |
22 |
42 |
80 |
21 |
184 |
44 |
74 |
104 |
76 |
42 |
|
|
83 |
67 |
25 |
48 |
92 |
Начинать построение кулачка следует с вычерчивания контура ABCD, который представляет собой дуги эллипсов. Участки эллипсов (AB, BC и CD) строятся по их сопряженным диаметрам, как это показано на рис. 12.
Построение соответственных сопряженных диаметров:
• провести хорды АС и ВD, найти их середины S1 и S2 (АS1 = S1С;
ВS2 = S2D);
•через точку С провести прямую m║ ВD и найти ее пересечение с прямой S1В в точке Т′, затем соединить точки А и Т′;
•через точку В провести прямую Т1Т2 ║АС и найти ее пересечение с прямой S2С в точке Т′′, затем соединить точки D и Т′′. После этого зафиксировать точки Т1, Т2 и Т3;
•определить точки О1, О2 и О3, исходя из условий, что ВО1║Т1А,
ВО2║Т2С, СО3║Т3D. На отрезках О1А-О1В, О2В-О2С, О3С-О3D, как на сопряженных диаметрах, строить дуги эллипсов. Дальнейшее построение
контура кулачка производить, используя пояснения к рис. 2-10.
В системе AutoCAD дуги эллипсов вычерчивают по рекомендациям, данным в описании к рис. 12.
Параметры h и t выбрать по справочнику.
27
S8
№ вар. |
R |
a |
b |
d |
d1 |
h |
t |
х |
х1 |
х2 |
y |
7 |
109 |
60 |
37 |
45 |
38 |
|
|
90 |
80 |
20 |
53 |
22 |
131 |
72 |
44 |
54 |
46 |
|
|
108 |
96 |
24 |
24 |
Построение контура кулачка следует начинать с вычерчивания синусоиды, которая задана образующей окружностью с диаметром d1 и осью О-О, расположенной вертикально. Начало синусоиды находится в т. А. Далее построение проводим по рекомендациям к рис. 16. Касательная q-q построена в т. В, т. е. в максимальном положении амплитуды синусоиды. Следовательно, она параллельна оси О-О.
После строим эллипс по двум осям а и b. (Рис. 11а). Проведя касательные
кэллипсу m-m и n-n, можем найти неизвестные радиусы RX и RX1.
Всистеме AutoCAD эллипс и синусоиду вычерчивают по рекомендациям, данным к рис. 11 и 16.
Параметры h и t выбрать по справочнику.
28