Тема 7. Нелинейная оптимизация.
1. Поиск минимумов функций. Постановка задачи.
Поиск оптимальных инженерно-технических, экономических и научных решений – основное поле деятельности инженера. К этому направлению принадлежит задача минимизации функций одной и нескольких переменных. Функция Φ(x1, x2…xn), подлежащая минимизации, называется целевой функцией. Задача поиска максимума Φ(x1, x2…xn) сводится к минимизации функции -Φ(x1, x2…xn). Целевых функций множество. Это расчет конструкций с заданной прочностью, поиск оптимальной траектории перемещения груза, стоимость продукции, выпускаемой предприятием и т. д. Наибольшие трудности при минимизации Φ(x1, x2…xn) возникают, когда размерность n вектора x=(x1, x2…xn) велика. Поэтому важной проблемой является уменьшение размерности вектора значений функции на этапе построения математической модели технической задачи. Выбор xi целевой функции основан на опыте и знаниях в конкретных предметных областях.
2. Решение уравнений и минимизация.
Поиск
корня системы уравнений можно свести
к задаче минимизации и наоборот. Пусть
в области D
пространства En
необходимо решить систему уравнений
(1). Известно, что в области D
существует решение системы (1). Определим
целевую функцию формулой Φ(x1,
x2…xn)=(f1(x1,
x2…xn))2+(f2(x1,
x2…xn))2+…+(fn(x1,
x2…xn))2
(2). В области D
целевая функция Φ(x1,
x2…xn)≥0.
Минимального значения функция Φ(x1,
x2…xn)
достигает на корне системы (1), т. е.
векторе x=(x1,
x2…xn),
который обращает все fi(x1,
x2…xn)
в ноль. Таким образом, решение системы
(1) равносильно поиску минимума Φ(x1,
x2…xn),
определенной формулой (2), т. е. поиску
Φ(x1,
x2…xn)
(3). Если значение (3) строго больше нуля,
то это означает ,что в области D
система (1) не имеет решений. Рассмотрим
задачу (3) как исходную с функцией Φ(x1,
x2…xn),
непрерывно дифференцируемой в определенной
области D.
Пусть известно, что в области D
существует x=(x1,
x2…xn),
при котором Φ(x1,
x2…xn)
имеет минимум. Тогда в точке x=(x1,
x2…xn)
должно выполняться соотношение
(4). Система (4) имеет форму системы (1).
Решив (4), получим экстремальные точки.
Затем из этих точек необходимо выбрать
точки локального минимума, а затем из
точек локального минимума – точки
глобального минимума.
Существуют и другие методы минимизации, например, перебор и методы спуска (метод покоординатного спуска, градиентного спуска, наискорейшего градиентного спуска).