Тема 2. Алгебраическое интерполирование.

1. Постановка задачи.

Интерполирование – нахождение промежуточных значений.

Пусть задана функция f(x), для которой известно, что она в n+1 точке x₀, x₁…x_n (1) принимает значения f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁…f(x_n)=y_n (2).

Ставится задача отыскания функции P(x), такой, чтобы она совпадала с f(x) в точках x_i, т. е. P(x_i)=y_i (3). x_i – узлы интерполяции; f(x) – интерполируемая функция; P(x) – интерполирующая функция; y_i – значение функции в узлах.

Задача интерполирования возникает при обработке электрических данных (стрелочные приборы), при работе с таблично-заданными функциями, а также когда вид f(x) либо неизвестен, либо слишком сложен для вычислений.

Если P(x) – полином n-ной степени, то сформулированная задача называется задачей алгебраического интерполирования.

2. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Пусть даны (1) и (2). Построим полином L_n(x) со свойствами (3), т. е. L_n(x_i)=y_i. Рассмотрим полином P_i(x) влияния узла x_i с двумя свойствами. Во-первых, степень полинома равняется n, и, во-вторых, P_i(x_i)=1, а P_i(x_j)=0, тогда интерполяционный полином Лагранжа можно записать в виде L_n(x)= _i(x)•y_i.

Первому свойству и второй части второго свойства удовлетворяет полином P_i(x)=C_i•(x-x₀)•(x-x₁)…(x-x_i-1)•(x-x_i+1)…(x-x_n); где C_i=const. Определим C_i из первой части первого свойства C_i= (4).

Тогда L_n(x)= •y_i (4).

Можно записать интерполяционный полином Лагранжа в более компактном виде. Введем в рассмотрение полином n+1-ой степени ω_n+1(x)=(x-x₀)…(x-x_n) (5). Очевидно, что x_i ω(x_i)=0. Рассмотрим также полином ω'(x)=(x-x₁)…(x-x_n)+…+(x-x₀)…(x-x_n-1)(x-x_n+1)…(x-x_n)+…+(x-x₀)…(x-x_n-1). ω'(x_i)= (x_i-x_j), где i≠j. Таким образом, интерполяционный полином Лагранжа представляется в форме L_n(x)= y_i (6). При n=1 интерполяция называется линейной; при n=2 – квадратичной.

Покажем, что интерполяционный полином Лагранжа единственный. Пусть кроме полинома L_n(x) существует еще один полином _n(x), такой, что _n(x_i)=y_i. Рассмотрим разность L_n(x)- _n(x)=Q_n(x). Q_n(x) должен иметь n+1 корней x₀, x₁…x_n. Но это возможно только если Q_n(x)≡0, а значит, L_n(x) единственный.

3. Оценка погрешности интерполяционного полинома Лагранжа.

Рассмотрим вспомогательную функцию U(x)=f(x)-L_n(x)-k•ω(x) (7), где k=const. U(x) имеет по крайней мере (n+1) корней x₀…x_n. Выберем k таким образом, чтобы появился еще один корень , не совпадающий с уже имеющимися x₀…x_n. Тогда k= (8). Т. е. при таком k функция U(x) имеет n+2 корня. Очевидно, что такая функция U(x) обращается в ноль на концах промежутков (x₀; x₁)…(x_i; ), ( ; x_i+1)…(x_n-1; x_n). Гладкая функция, обращающаяся в ноль на концах промежутка, имеет на этом промежутке по крайней мере одну точку, в которой ее производная обращается в ноль (теорема Ролля). По теореме Ролля U'(x) имеет на промежутке (x₀; x_n) n+1 корень, U''(x) – n корней, и так далее. Функция U⁽ⁿ⁺¹⁾(x) имеет один корень ξ, т. е. U⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)=0 (*).

Очевидно, что U⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-0-k•(n+1)!.

Исходя из (*), получим f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)-k•(n+1)!=0. Отсюда k= (9). Из (8) и (9) получим = . Т. к произвольно, то f(x)-L_n(x)= •ω(x). Это формула оценки погрешности. Обозначим R_n(x)=f(x)-L_n(x). Пусть M= |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|. Тогда |R_n(x)|≤ •ω(x) (10). R_n(x) – остаточный член интерполирования по Лагранжу.

Сформулированные единственность и оценка погрешности интерполяционного полинома позволяют высказать теорему о том, что по заданной системе из n+1 узла можно построить единственный полином n-ного порядка.

4. Конечные разности.

Рассмотрим равноотстоящие узлы, т. е. такие, когда x_i+1-x_i=h или x_i=x₀+ih. Конечной разностью называется величина Δy_i=y_i+1-y_i (11). Это аналог дифференциала. В численном анализе конечные разности играют такую же роль, как дифференциалы – в математическом анализе. Вторая конечная разность Δ²y_i=Δ(Δy_i)=Δ(y_i+1-y_i)=Δy_i+1-Δy_i=y_i+2-y_i+1-y_i+1+y_i=y_i+2-2y_i+1+y_i; Δⁿy_i=Δ(Δ^n-1y_i);

Из (11) следует, что y_i+1=(1+Δ)y_i; y_i+2=Δ²y_i+2y_i+1-y_i=Δ²y_i+2y_i+2Δy_i-y_i=Δ²y_i+2Δy_i+y_i=(1+Δ)²y_i.

Аналогично, y_i+n=(1+Δ)ⁿy_i (12); y_i+n=y_i+ Δy_i+ Δ²y_i+…+ Δ^ky_i+…+Δⁿy_i (13), где = .

Таким образом, можно вычислить значение функции в i+n-ном узле через n конечных разностей в i-том узле. Получим теперь значения конечных разностей n-ного порядка через значения функции Δⁿy_i=((1+Δ)-1)ⁿy_i=(1+Δ)ⁿy_i- (1+Δ)^n-1y_i+…+(-1)^k (1+Δ)^n-ky_i+…+(-1)ⁿy_i=|по (12)|=yⁱ⁺ⁿ- y_i+n-1+…+(-1)^k y_i+n-k+ +…+(-1)ⁿy_i (14).

Для вычисления разности Δⁿy_i необходимо знать n+1 значений функции.

Существуют так называемые таблицы конечных разностей

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
x0	y0	Δy0	Δ2y0	Δ3y0
x2	y1	Δy1	Δ2y1
x2	y2	Δy2
x3	y3

Можно показать, что для полинома степени n n-ная конечная разность постоянна, а n+1 равна нулю.

5. Интерполирование по Ньютону.

Пусть даны равноотстоящие узлы интерполирования x_i=x₀+ih; и значения функции в этих узлах f(x_i)=y_i. Будем искать интерполяционный полином P(x), такой, что P(x_i)=y_i. Следуя Ньютону, будем искать полином в виде P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₁)(x-x₀)+…+a_n(x-x₀)…(x-x_n-1). Определим коэффициенты a_i.

P_n(x₀)=a₀=y₀a₀=y₀; P_n(x₁)=y₀+a₁(x₁-x₀)=y₁a₁= = .

Аналогично, a_n= .

Таким образом, формула интерполяционного полинома Ньютона в верхней части таблицы (первая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид P_n(x)=y₀+ •(x-x₀)+…+ •(x-x₀)•…•(x-x_n+1) (14).

Выведем более удобную запись формулы (14). Пусть t= – число шагов, необходимое для достижения x исходя из x₀.

x-x₀=th; x-x₁=(x-x₀)+x₀-x₁=th-h=h(t-1).

Аналогично, x-x_n+1=h(t-n+1).

Таким образом, формула (14) примет вид P_n(x)=y₀+t•Δy₀+…+ •Δⁿy₀ (15).

Рассмотрим теперь полином в виде P_n(x)=b_n+b_n-1(x-x_n)+b_n-2(x-x_n)(x-x_n-1)+…+b₀(x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁). Определим коэффициенты b_i.

P_n(x_n)=b_n=y_nb_n=y_n; P_n(x_n-1)=y_n+b_n-1(x_n-1-x_n)=y_n-1b_n-1= .

Аналогично b₀= .

Таким образом, интерполяционный полином Ньютона для нижней части таблицы (вторая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид P_n(x)=y_n+ •(x-x_n)+…+ •(x-x_n)…(x-x₁). (16).

Выведем более удобную запись формулы (16). Пусть t= ; x-x_n=th; x-x_n-1=(x-x_n)+x_n-x_n-1=th+h=h(t+1).

Аналогично x-x₁=h(t+n-1).

Таким образом, формула (16) примет вид P_n(x)=y_n+Δy_n-1t+…+ •Δⁿy₀ (17).

Можно заметить, что интерполяционная формула Лагранжа не отличается от первой и второй интерполяционных формул Ньютона, если интерполяция проводится по всем точкам (через n+1 точек можно провести единственный полином n-ного порядка). Остаточный член в формуле Ньютона такой же, как и у Лагранжа |R_n(x)|≤ •ω(x).

6. О наилучшем выборе узлов интерполяции.

Анализ величины R_n(x) показал, что уменьшение R_n(x) возможно только за счет ω(x), т. е. за счет выбора узлов. Возникает вопрос о таком выборе узлов интерполирования, чтобы выражение R_n(x) было минимально. Чебышев доказал, что узлы интерполяции нужно выбирать, согласно формуле x_i= + •ξ_i, где ξ_i=-cos( • ) – нули полинома Чебышева. При таком выборе узлов интерполяции |R_n(x)|≤ • . Очевидно, что узлы получаются неравноотстоящими.