Тема 6. Вычисление значений элементарных функций.

Часто в вычислительной математике ставится задача вычисления значения некоторой функции в заданной точке. При этом математический эквивалент выражения не всегда оказывается равнозначным в смысле вычисления его значения. Поэтому ставится задача об оптимальной форме представления функции для построения алгоритма вычисления ее значения. Оптимальность может рассматриваться в смысле минимизации количества вычислительных операций или времени нахождении результата.

1. Вычисление значения алгебраических многочленов.

Пусть требуется вычислить значение многочлена P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n. Вычисление значений полинома оказывается важным не только с практической точки зрения, но также связано с задачей деления многочлена на линейный двучлен, т. е. с задачей определения корней уравнения. Для вычисления значения многочленов используется так называемая схема Горнера. Согласно этой схеме, многочлен представляется в виде P_n(x)=a_n+x(a_n-1+x(a_n-2+…+x(a₁+xa₀)…)). Реализация схемы Горнера связана с последовательным определением коэффициентов b_i, таких, что b₀=a₀; b₁=a₁+x*b₀; b₂=a₂+x*b₁…b_n=a_n+x*b_n-1, дающих возможность нахождения P_n(x*)=b_n. Кроме того, используя схему Горнера, мы можем заменить переменную в многочлене, т. е. поделить многочлен на линейный двучлен.

2. Вычисление значений аналитических функций.

Такие вычисления основаны на представлении функции в виде быстросходящегося ряда Тейлора с остаточным членом в форму Лагранжа. Пусть требуется вычислить значение аналитической функции f(x) на отрезке [a, b] в точке x=x*[a, b] с заданной предельной абсолютной погрешностью ε. Общий алгоритм решения задачи имеет следующий вид. Выберем в отрезке [a, b] точку x=c, по возможности близкую к точке x=x*, и такую, что функция f(x) и ее производные могут быть легко вычислены при x=c. Представим ε в виде ε=ε₁+ε₂+ε₃ (1), где ε₁ – остаточная погрешность (погрешность метода), ε₂ – предельная допустимая абсолютная погрешность вычисления суммы S_n(x*)= , ε₃ – предельная допустимая абсолютная погрешность округления результата. ε₁, ε₂ и ε₃ могут быть любыми целыми числами, удовлетворяющими соотношению (1). Обычно ε записываю в виде ε=10^-m, где m – целое число. В этом случае обычно принимают ε₃=0,5•10^-m, ε₁=ε₂=0,25•10^-m. Иногда, если погрешность конечного округления отсутствует, т. е. ε₃=0, то принимают ε₁=ε₂=0,5•10^-m. Выберем число слагаемых в S_n так, чтобы выполнялось неравенство |f(x*)-S_n(x*)|=|R_n(x*)|≤ε₁. Вычислим количество слагаемых так, чтобы приближенное значение отличалось от точного значения S_n не более чем на ε₂. Обычно S_n вычисляется до тех пор, пока очередное слагаемое сравнится с абсолютной погрешностью . Затем полученную на предыдущем шаге приближенную сумму округляют до величины , если ε₃≠0. Решение записывается в виде f(x*)= ±ε. Иногда, если сходимость полученного ряда плохая, его разбивают на части (e^2.25=e²•e^0.25) и вычисляют значения частей.

3. Итерационный метод вычисления значений функций.

Этот искусственный прием вычисления, который основан на итерационном методе Ньютона для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.