- •3.Линейные операции над геометрич.Векторами.
- •5.Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве.
- •6.Действия с геометрическими векторами в коорд форме. Признак коолинеарности векторов.
- •7.Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва. Признак ортогональности векторов.
- •8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя векторами
- •9.Направляющие косинусы вектора и их свойство.
- •10)Векторное произведение. Определение,вычисление,св-ва.
- •11)Смешанное произведение: Определение, вычисление, геометрический смысл
- •14)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.
- •15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •16. Общее уравнение плоскости и его исследование
- •17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •18.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •19.Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •20.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •21.Угол между прямой и плоскостью
- •22)Окружность и ее уравнение
- •23)Определение эллипса и его каноническое уравнение
- •24)Определение гиперболы и ее каноническое уравнение
- •25) Определение параболы и ее каноническое уравнение
- •26)Матрицы и основные определения связанные с этим понятием
- •27)Действия с матрицами. Законы.Которым эти действия удовлетворяют
- •28)Определение определителя и его св-ва
- •29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
- •30. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
- •31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •32. Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определения однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем
- •33. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •34. Формулы Крамера
- •35. Теорема Кронекера-Капелли.
- •37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •38)Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.
- •39)Теорема о существовании ненулевых решений однородных систем линейных уравнений.
- •40)Линейное(векторное) пространство. Пространство rⁿ и линейные операции в этом пространстве.
- •41)Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Косинус угла между m-мерными векторами.
- •42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и независимости векторов в пространстве rⁿ.
- •43.Базис линейного пространства. Примеры базисов в r в степени n.
- •44. Теорема о единственности разложения вектора линейного пространства по базису.
- •45. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.
- •46. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Их св-ва.
- •47. Характерестическое уравнение, соответствующее квадратной матрице. Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.
- •48. Линейные операторы. Основные понятия.
- •49.Комплексные числа в алгебраической форме записи. Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Решение алгебраических уравнений.
- •51)Действия с комплексными числами в тригонометрической и экспоненциальной(показательной) форме. Формула Муавра.
- •53)Квадратичные формы. Критерий Силвестра.
26)Матрицы и основные определения связанные с этим понятием
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины ( или n столбцов одинаковой длины).
Виды матриц :
1)Квадратная- это матрица у которой число строк равно числу столбцов(m=n)
2)Треугольная- если все элементы, расположенный по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
3)Диагональная- у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю
4)Скалярная- это диагональ матрицы с разнообразными элементами на главной диагонали.
5) Единичная- каждый элемент главной диагонали равен единице
6)нулевая- все элементы которой равны 0
7)трапецеидальная- все элементы под главной диагонали =0
8) Транспонированная матрица — матрица полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
27)Действия с матрицами. Законы.Которым эти действия удовлетворяют
Суммой двух матриц одинаковых размеров(а и в) называется матрица того же размера, элементы которой =сумме соответственного элемента матрицы а и в. Аналогично и с разностью.
Произведение А*В не равно В*А
Операции сложения матриц и умножения матриц на число обладают следующими свойствами: А+В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С, А+0+А, А-А=0, 1А=А, с(А+В)=сА+сВ, (с+х)А=сА+хА, с(хА)=(сх)А
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Транспонирование матрицы - замена каждой ее строки столбцом с тем же номером. Для транспонирования верны св-ва: (А+В) в степени Т=А в степени Т+В в степени Т; (АВ) в степени Т=В в степени Т на А в степени Т.
28)Определение определителя и его св-ва
Каждая квадратная матрица А по некоторому правилу, сопоставляет число, которое называется определителем этой матрицы. Определитель n порядка -это число равное сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. |A|=ai1Ai1+ai2Ai2….
.Так же это многочлен от элементов квадратной матрицы.
Свойства:
1)Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот
2)При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
4)Общий множитель элементов какого-нибудь ряда определителя можно вынести за знак определителя.
5)Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6)Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
7) Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
Определителем матрицы состоящей из одного числа является само это число. Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31-22а13-а21а12а33-а32а23а11. Так же это многочлен от элементов квадратной матрицы
Минором некоторого элемента определителя n-ного порядка называется определитель n – первого порядка.который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор,взятый со знаком плюс если i+j-четное число,и со знаком минус если нечетное. Aij=(-1)в степени i+j умножить на mij.