48. Линейные операторы. Основные понятия.

Определение. Если каждому элементу ᵡ из линейного постранства L ставится в соответствие единственный элемент « y» из линейного постранства M, то говорят, что задан оператор, действующий из постранства L в пространство M (или оператор, действующий в пространстве L, если L совпадает с M). Результат действия оператора A на элемент ᵡ обозначают : у=А(х). Над у,х и лямда знаки вектора. Если элементы ᵡ и у связаны соотношением у=А(х) , то у называют образом ᵡ ; а ᵡ — прообразом у. Множество элементов пространства L, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A). Множество элементов пространства M, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если у=А(х), то х принадлжежит D(A), y принадлжежит Im(A) . Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства L, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A).

49.Комплексные числа в алгебраической форме записи. Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Решение алгебраических уравнений.

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Геометрическое изображение. Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М плоскости Оху. Такая плоскость называется комплексной, ось абсцисс - действительная ось(z=x+io), ось ординат –мнимая, на ней лежат мнимые комплексные числа (z=0+iy). Комплексное число можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ. Длина вектора r- модуль комплексного числа, величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r-аргумент этого комплексного числа(arg z).

Сложение комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)

Сложение комплексных чисел обладает переместительным( коммутативным) и сочетательным( ассоциативным) свойствами:

z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

Из определения следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы.

Вычитание комплексных чисел.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложением с z2, дает число z1, т.е z=z1-z2, если z+z2=z1

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:

Z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2)

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы.

Умножение комплексных чисел.

Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:

Z=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение:

i²=-1

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула Муавра.

zⁿ=(r(cos(фи)+isin(фи))ⁿ=rⁿ(cosn(фи)+isin n(фи))

Деление комплексных чисел.

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 не =0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, дает число z1.

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w,удовлетворяющее равенству wⁿ=z

50)Тригонометрическая и экспоненциальная(показательная) форма записи комплексных чисел. Модуль и аргумент. Формулы Эйлера.

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент (фи) комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r =ОМ, изображающего комплексное число z=x+iy. Тогда получаем х=rcos(фи), y=r sin(фи). Следовательно, комплексное число z=x+iy можно записать в виде z=r cos(фи)+ir sin(фи) или z=r(cos(фи) +I sin(фи)

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле:

R=|z|=x²+y²-все под корнем

Например, |i|=0²+1²(все под корнем)=1. Аргумент фи определяется из формул:

Cos(фи)=x/r sin(фи)=у/r tg(фи)=y/х

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z.

Формула Эйлера:

E( в степени i умножить на фи)= cos(фи)+ isin(фи)

Комплексное число z=r(cos(фи)+isin(фи)) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=re в степени iумножить на фи. Где r=|z| - модуль комплексного числа

В силу формулы Эйлера, функция E( в степени i умножить на фи) периодическая с основным периодом 2π. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа.