- •3.Линейные операции над геометрич.Векторами.
- •5.Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве.
- •6.Действия с геометрическими векторами в коорд форме. Признак коолинеарности векторов.
- •7.Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва. Признак ортогональности векторов.
- •8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя векторами
- •9.Направляющие косинусы вектора и их свойство.
- •10)Векторное произведение. Определение,вычисление,св-ва.
- •15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •11)Смешанное произведение: Определение, вычисление, геометрический смысл
- •14)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.
- •16. Общее уравнение плоскости и его исследование
- •17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •18.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •19.Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •20.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •21.Угол между прямой и плоскостью
- •22)Окружность и ее уравнение
- •23)Определение эллипса и его каноническое уравнение
- •24)Определение гиперболы и ее каноническое уравнение
- •25) Определение параболы и ее каноническое уравнение
- •26)Матрицы и основные определения связанные с этим понятием
- •27)Действия с матрицами. Законы.Которым эти действия удовлетворяют
- •28)Определение определителя и его св-ва
- •29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
- •30. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
- •31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •32. Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определения однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем
- •33. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •34. Формулы Крамера
- •35. Теорема Кронекера-Капелли.
- •37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •38)Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.
- •39)Теорема о существовании ненулевых решений однородных систем линейных уравнений.
- •40)Линейное(векторное) пространство. Пространство rⁿ и линейные операции в этом пространстве.
- •41)Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Косинус угла между m-мерными векторами.
- •42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и независимости векторов в пространстве rⁿ.
- •43.Базис линейного пространства. Примеры базисов в r в степени n.
- •44. Теорема о единственности разложения вектора линейного пространства по базису.
- •45. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.
- •46. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Их св-ва.
- •47. Характерестическое уравнение, соответствующее квадратной матрице. Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.
- •48. Линейные операторы. Основные понятия.
- •49.Комплексные числа в алгебраической форме записи. Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Решение алгебраических уравнений.
- •51)Действия с комплексными числами в тригонометрической и экспоненциальной(показательной) форме. Формула Муавра.
- •53)Квадратичные формы. Критерий Силвестра.
8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя векторами
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Дов-во: а=ах на i+ ay на j+ az на k b=bx на i+by на j+ bz на k
Найдем скалярное произведение перемножая как многочлены. По таблице скалярного произведения векторов: i на i=1, i на j=0, I на k=0 и тд. В итоге у нас останется: аb=axbx+ayby+azbz
Длина вектора: это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1 – единичный вектор. Обознач как е. Если рассматривать АВ,где A(x1) и B(x2) точки на корд прямой,то расстояние АВ=|х2-х1|
Расстояние между двумя точками: на плоскости: АВ= (y1-y2)²+(x1-x2)² все под корнем. Пусть в системе корд заданы две точки А(х1,у1) и В(х2,у2). Из этих точек опусти перпендикуляры на ось Ох,из точки В на Оу. |АВ|=АМ²+ВМ² все под корнем. В пространстве: тоже самое плюс z.
Косинус угла между векторами: cos α=AB на AC\ |AB| на |AC| или ab\ |a| |b|.
9.Направляющие косинусы вектора и их свойство.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задан вектор . Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора. Формула: cos²α+ cos²β+cos²γ=1. Док-во: пусть углы вектора а с осями Ох,Оу,Оz равны соответственно альфа,бета,гамма. По св-ву проекции вектора на ось имеем: ах=|a| cos α итд. Подставим эти выражения в выражение «модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.» и получим формулу см.выше. чтд. Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
10)Векторное произведение. Определение,вычисление,св-ва.
Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с который:
1)перпендикулярен векторам а и в
2)имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах.
3)векторы а,в и с образуют правую тройку. Правая тройка: три вектора образуют правую тройку если если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки
Свойства:
1)При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е АхВ=-(ВхА)
Векторы АхВ и ВхА коллинеарны, имеют одинаковые модули,но противоположно напрвлены.
2)Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е λ(АхВ)=(λА)хВ=Ах(λВ).
Вектор λ(АхВ) перпендикулярен векторам Аи В. Вектор (λА)хВ также перпендикулярен векторам Аи В.Значит векторы λ(АхВ) и (λА)хВ коллинеарны. Направления их совпадают.
3)Два ненулевых А и В коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору ,т.е А||В ↔АхВ=0
Если А||В,то угол между ними равен 0 или 180
4) Векторное произведение обладает распределительным свойством :
(А+В)хС=АхС+ВхС
Прием без док-ва.