44. Теорема о единственности разложения вектора линейного пространства по базису.

45. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.

Подпространство.

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы:

-Нейтральный элемент ɵ принадлежит К

-для всякого вектора х принадлежит К, вектор αх также принадлежал K, при любом α принадлежит L ;

-для всяких векторов x,y принадлежит К , вектор x+y также принадлежал K.

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Линейная оболочка £(Х) подмножества X линейного пространства L — пересечение всех подпространств L, содержащих X. Линейная оболочка является подпространством L. Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Линейная оболочка £(Х) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то £(Х) состоит из всех линейных комбинаций элементов X.

Свойства подпространств. Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство; Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:

46. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Их св-ва.

Собственным числом квадратной матрицы (для определенности 3х3)

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33

называется такое число , которое обращает определитель в 0

а11-ᵡ а12 а13

а21 а22-ᵡ а23

а31 а32 а33-ᵡ .

Ненулевой вектор x называется собственным вектором матрицы A

и оператора A если выполняется соотношение: Ах=ᵡх. где ᵡ – некоторое число, которое называется собственным значением (собственным числом)

матрицы и оператора.

Св-ва: 1) Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно

независимы.

2) Если матрица оператора симметричная, т.е. аij=аji, всякий i, j =1, 2,..., n , то собственные

значения ее вещественные.

3) Если собственные векторы матрицы образуют базис, то в этом базисе матрица оператора

имеет диагональный вид, причем ее диагональными элементами являются собственные числа.

47. Характерестическое уравнение, соответствующее квадратной матрице. Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.

|A-ᵡE|=0- характерестическое уравнение. См Уравнение в вопросе 46(оно характерестическое)

Теорема: Собственными числами матрицы А являются корни уравнения |A-ᵡE|=0 и только они.

Доказательство . Пусть столбец α -- собственный вектор матрицы А с собственным числом ᵡ . Тогда, по определению, Аα=ᵡα . Это равенство можно переписать в виде . Так как для единичной матрицы Е выполнено Еα=α , то Аα-ᵡЕα=0 . По свойству матричного умножения (А-ᵡЕ)α=Аα-ᵡЕα и предыдущее равенство принимает вид (А-ᵡЕ)α=0(1) Допустим, что определитель матрицы (А-ᵡЕ) отличен от нуля . Тогда у этой матрицы существует обратная (А-ᵡЕ) в минус первой . Из равенства ( 1 ) получим, что α=(А-ᵡЕ)в минус первой×0=0, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что |А-ᵡЕ| неравно нулю, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения . Пусть ᵡ -- корень уравнения |А-ᵡЕ|=0 . Тогда базисный минор матрицы А-ᵡЕ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому ,Rg(А-ᵡЕ)=r<n, n - порядок матрицы A . Уравнение (1) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными α1,α2…αn , являющимися элементами матрицы-столбца α . Число решений в фундаментальной системе решений равно n-r, что больше нуля. Таким образом, система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу ᵡ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы A . Определитель |А-ᵡЕ| является многочленом степени n от переменного ᵡ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.