Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kkkkk_1.docx

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2019

Размер:

280.6 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

206. Сформулировать определение матрицы кВадратичной формы.

Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица

207. Сформулировать определение канонического вида квадратичной формы.

Каноническим видом квадратичной формы называется следующий вид: .

208. Формулировать алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду состоит в слуедующем:

находим собственные значения матрицы квадратичной формы и записываем её канонический вид в виде суммы квадратов, коэффициентами при которых являются собственные значения матрицы;
если нужно указать вид преобразования, то находим собственные векторы матрицы, нормруем их, и записываем матрицу перехода от исходного ортонормированного базиса к базису, составленному из найденных собственных векторов.

209. Сформулировать определение положительно (отрицательно) определённой квадратичной формы.

Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0).

210. Сформулировать критерий Сильвестра.

Критерий Сильвестра определяет, является ли квадратная матрица положительно (отрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (aij). Тогда эта форма положительно определенна, если и только если все её угловые миноры Δi положительны, и отрицательно определенна, если и только если их знаки чередуются, причём Δ₁ < 0.< 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

Доказательство критерия Сильвестра основанно на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

211 Сформулировать определение комплексного числа ?

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.

212 Сформулировать определение действительной и мнимой части комплексного числа?

МНИМАЯ ЧАСТЬ комплексного числа z = x + iy, множитель y при мнимой единице i

ДЕЙСТВИ́ТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ (вещественная часть) комплексного числа z= x + iy, число х

213.Как выглядит алгебраическая форма комплексного числа ?

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z

214.По каким правилам производятся действия с комплексными числами в алгебраической форме ?

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)

Сложение (вычитание) комплексных чисел

z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Примеры

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основные свойства сложения

1)z1 + z2 = z2 + z1;

2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3)z1 – z2 = z1 + (– z2);

4)z + (–z) = 0;

5) .

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

215. Как выглядят комплексно-сопряженные числа?

216. Что называется модулем комплексного числа ?

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа.

217.Что называется аргументом комплексного числа ?

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i

218. Как выглядит тригонометрическая форма комплексного числа ?

219.Как умножаются два комплексных числа в тригонометрической форме?

1. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет дать геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Запишем два комплексных числа в тригонометрической форме и перемножим их:

Мы узнаем в скобках формулы для косинуса и синуса суммы углов ₁ и ₂: Получилось комплексное число в тригонометрической форме. Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если числа z₁ и z₂ изображены на комплексной плоскости, то их произведение можно изобразить так: надо построить окружность (с центром в начале координат) радиуса r₁r₂, затем взять подвижный луч и повернуть его на угол ₁ + ₂. Точка пересечения этого луча с построенной окружностью и будет изображением произведения z₁z₂. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме применима к произведению любого числа комплексных чисел – правило остается тем же: модули перемножаются, а аргументы складываются.

220. Как делятся два комплексных числа в тригонометрической форме ?

2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Заметим, что можно использовать тригонометрическую форму комплексного числа не только для умножения, но и для деления комплексных чисел. Если z = r (cos + i sin ), то z^–1 = r^–1 (cos (– ) + i sin (– )). Действительно, перемножим числа r (cos + i sin ) и r^–1 (cos (– ) + i sin (– )), получим: т. е. указанное нами число есть Деление – это умножение z₁ на z₂^–1. Получим

т. е. при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются.

221.Как выглядит формула Муавра ?

Формула Муавра для комплексных чисел

222.Как выглядит формула, задающая все значения ?

223. Как выглядит показательная форма комплексного числа ?

224.Сформулировать определение Эллипса?

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами.

225.Каковы координаты фокусов эллипса ?

226.Как выглядит каноническое уравнение эллипса ?

227.Чему равен эксцентриситет эллипса ?

Эксцентриситет эллипса равен отношению

228. Изобразить эллипс в канонической системе координат ?

229.Сформулировать определение гиперболы?

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

230. Каковы координаты фокусов гиперболы ?

F1(-c,0)

F2(c,0)

231.Как выглядит каноническое уравнение гиперболы?

232.Каково уравнение асимптот гиперболы?

Уравнения асимптот:

233.Чему равен эксцентриситет гиперболы ?

Отношение называется эксцентриситетом

гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

234.Изобразить гиперболу в канонической системе координат ?

235.Сформулировать определение параболы ?

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

236.Каковы координаты фокуса параболы ?