14.Злп. Теорема о дополняющей нежесткости.

Для того, чтобы допустимые решения Х и У пары двойственных з-ч были оптим., необходимо и достаточно, чтобы выполнялись след. равенства:

(1)

(2)

(1)и (2)-условия дополняющей нежесткости. След-но ,если

то

если то

Экономически это озн., что по оптимальному плану Х расход ресурса строго больше его запаса, то в опт. плане двойственной з-чи соответствующие двойствен. оценки единицы этого ресурса =0

Если же двойственные оценки в опт. плане строго больше нуля, то расход ресурса равен запасу.

26. Предметные и средние св-ва пф. Определение и экономический смысл.

1. Средней произв-стью і-го рес-са наз.отношение А_і = f(х)/х_i і = 1,2

2. Предельной произв-стью і-го рес-са наз. первая чайная производная от ПФ по соотв-щему рес-су:

М_і = f (х) ; і = 1,2

f/x_i ≈ _іf (х)/x_i

x_i → 0;

_іf (х₁;x₂)= f (х₁ + х₁; х₂) – f (х₁; х₂)

Пред. произв-сть показывает, на cк-ко ед-ц изменится V выпуска у, если V затрат і-го рес-са увеличится на ед-цу при неизменных объемах 2-го рес-са.

3. Эластичностью выпуска по і-му рес-су наз. отношение пред. произв-сти к средней произв-сти.

Е_і = М_і/А_і = (f/х_і)•( х_і/f(х)); і = 1,2

4. Эластичностью пр-ва наз. Е_х = Е₁ + Е₂ сумма эластичностей по факторам.

Эл-сть выпуска по ф-ру Е_і приближенно показыв. на ск-ко % изм-ся выпуск У при изм-ии затрат і-го ресурса на 1% при неизменных V-ах 2-го ресурса.

5. Предельной нормой замены і-го рес-са j-ым наз. в-на

Rіj = (f(x)/x_i)/(f/x_j); і =1,2; j = 1,2

22. Задача оптимального распределения ресурсов (постановка, метод решения)

П остановка: пусть имеется некоторое кол-во рес-в, кот нужно распред-ть м/у n различными ПП (работами, объектами) так, чтобы получить max суммарную эфф-ть от выбранного способа распред-ия.

Пусть x_i - кол-во рес-в, выдел-ых i-му ПП (i=1,n), fi(xi)- это вел-на дохода от исп-ия ресурса x_i , полученного i-ми ПП. Тогда мат. модель задачи имеет вид:

- max (1)

(2)

0  xi  c, i =1,n (3)

x_i выступает в качестве управления

Ф-ия (1) пред-ет собой  n ф-й одной переменной. Решение з-чи 1-3 сост. из 3-х этапов:

1. этап инвариантного погружения в семейство подобных задач

2. вывод ур-ий Беллмана

3. реш-ие ур-ий Беллмана и получение оптим решения

Решение: 1.погружаем з-чу 1-3 в семейство подобных задач

- max (4)

(5)

0  xi  y, i =1,k (6)

0  y  c, 1  k  n

При y=c и k=n получаем исх-ую задачу 1-3.

2. введем в рассмотрение ф-ию Беллмана B_k(y) как max значение УФ в задачах 4-6

B_k(y)=max^k_i=1fi(xi) (7)

где max берется по всем x₁, x₂ …x_n, удов условиям

0  x_i  y

ⁿ_i=1x_i=y, i =1,k

составим ур-е для ф-ии Беллмана: выделим к-му ПП ресурсы в кол-ве x_k=z ед. 0zy

При этом мы получим доход f_r(z). Пусть рес-сы м/у оставшимися к-ми ПП в кол-ве (y-z) ед. распред. оптим-но

Согласно (7) вел-на оптим прибыли от (к-1) ПП i=B_k-1(y-z), т/обр. от выделения к-му ПП рес-в в кол-ве z – ед. от всех к ПП получим прибыль

f_k(z)+B_k-1(y-z)

т/обр. т.к нам нужно получить оптим доход:

B_k(y)=maxf_k(z)+B_k-1(y-z) (8)-ур-е Беллмана

0  z  y

где к =1,n 0  z  y

т. к. рав-во (8) референтное, то следует задать начальное условие. Нач. усл. получим из (7) при к=1

B₁(y)=maxf₁(x₁), y=x₁

B₁(y)=f₁(y) (9) - нач. усл для ур-я (8)

3.Решение ур-я Беллмана

пусть к=2

B2(y)=maxf(z)+B1(y-z) (10)

0  z  y

В дан рав-ве справа в скобках стоят известные ф-ии. из (10) найдем x₂(y), при кот достигается max. Далее, полагая к=3,4…,n, найдем:

х₃(y),B₃(y),x₄(y),B4(y),x₁₁(y),B_n(y)

B_n(c) дает нам оптим доход 1-3, x_n-это оптим кол-во рес-в, выдел-ых n-му ПП при объеме рес-в с. Далее из (8) послед-но нах-ся коорд-ты оптим-но решения

х⁰_n-1(c),…..x⁰_i(c).