59. Процессы гибели и размножения.

В теории МО широкое распр. имеет след. класс случайных процессов, так называемых процессов гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он явл. мат. моделью изменения численности биолог. популяций. Различный граф состояний процесса гибели и размножения имеет след вид:

Число состояний данной системы S₀, S_i…. переходы м. осуществляться из любого сост. S_k только в сост. с соседними номерами, т.е.:

_Sk-1 ← S_k→ S_k+1

При анализе численности популяций считают, что сост. S_k соответствует численности популяций равной k и переход системы из сост. S_k в сост. S_k+1 осущ. при рождении нового члена популяции, а сост. S_k-1 – при гибели одного из членов популяции.

Предположим, что все потоки переводящие сист. из сост. в сост. по стрелкам является простейшими с интенсивностями λ_k,k+1 или λ_k+1,k. По графу, рассмотренному на рис. составим и решим алгебраические ур-я для вероятностей состояния. Их существование следует из возможности перехода из каждого сост. в любое другое и конечности числа состояний.

В соответствии с правилом Колмогорова для сост. S₀ имеем:

S₀: λ₀₁p₀= λ₁₀p₁ (2)

S₂: (λ₁₀+λ₁₂)p₁= λ₀₁p₀+ λ₂₁p₂ (3)

С учетом ур (2) уравнение (3) приводится к виду:

λ₁₂p₁= λ₂₁p₂

Аналогично, записывая ур. для предельных вероятностей состояний получим систему линейных алгебраических уравнений:

λ₀₁p₀=λ₁₀p₁

λ₁₂p₁=λ₂₁p₂

………….

λ _k-1,k p_k-1= λ _{k, k-1} p_k

……………..

λ _n-1,n p_n-1= λ _{n, n-1} p_n

p₀+ p₁+……… p_n=1

Решив данную систему, найдем p₀, p₁ …. p_n.

p₀= (1+ λ₀₁/ λ₁₀ + λ₀₁ * λ₁₂/ λ₁₀* λ₂₁ + .…+ λ₀₁ * λ₁₂ * …. λ _n-1,n / λ₁₀* λ₂₁*… λ_{n, n-1})^-1

p₁ = (λ₀₁/ λ₁₀) * p₀

………

p_n = (λ₀₁* λ₁₂….. λ _n-1,n / λ₁₀* λ₂₁ * λ_n,n-1) * p₀

60. Смо с отказами

Рассмотрим работу след. системы: заявка, поступившая в СМО с отказом и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему не обслуженной. Будем предполагать, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам. Входящий поток требований является простейшим. Время обслуживания одной заявки tобсл распределено по показательному закону. В качестве показателя эффективности данной СМО б. рассматривать:

1. Абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в ед. вр. (А)

2. Q – относительную пропускную способность – вероятность того, что поступившие требования будут обслужены

3. P_отк – вероятность отказа. Q+ P_отк=1.

4. К – среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами.

Рассмотрим след. систему. Имеется один канал обслуживания, на кот. поступает поток заявок с интенсивностью λ, поток обслуживаний имеет интенсивность μ, считаем, что все потоки системы – простейшие. Ср. вр. обсл. одной заявки t_обсл = 1/ μ. Найти предельные вероятности состояния системы и показатели ее интенсивности.

Система S имеет два сост. S₀ – канал свободен; S₁ – канал занят.

λp₀ = μp₁

μp₁= λp₀

p₀+p₁=1

Решив эту сист. получим:

p₀= μ/ λ+ μ;

p₁= λ / (λ+ μ)= _Ротк.

Абсолютную пропускную способность А найдем:

А = Q* λ = λ* μ / λ+ μ

Многоканальные системы с отказами.

Рассмотрим систему Эрланга. Имеем СМО, в кот. есть n каналов. Заявки пост. в сист. с интенсивностью поток обслуживания имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояния системы и показатели ее продуктивности.

данная система имеет след. сост.: S₀, S₁ ….S_n, где S_k – сост. системы, когда в ней занято k каналов. Граф состояния системы имеет вид.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого сост. в сост. правое с одной и той же интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживаний, приводящие систему из любого правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния системы. Воспользуемся формулами (5) и для данной системы получим:

p0 = (1+ λ/μ + λ² /2!*μ² + λⁿ /n!*μⁿ )^-1

Величина ρ = λ/n – назыв. параметром загрузки канала. Эта вел. выражает среднее число заявок приходящее за средн. вр. обсл. одной заявки. Воспользовавшись ρ = λ/n получим:

p₀ = (1+ p + p²/2!+…+ pⁿ/n!)^-1

p₁ = p*p₀ (6)

p_n = (pⁿ/n!) * p₀

Ф-лы (6) наз. ф-ми Эрланга для предельных вероятностей состояний:

P_отк = pn = (pⁿ/n!) * p0

Q = 1- P_отк = 1- (pⁿ/n!) * p0

A = λ* Q = λ*(1-(pⁿ/n!) * p0)

Понятие о статистическом моделировании СМО (метод Монте-Карло).

Сущность этого метода сост. в том, что требуется найти значение а некоторой случ вел. По методу Монте-Карло выбирают такую случ. вел. Х, математическое ожидание кот. равно а, (т.е. М(х)=а). Практически же проводят n испытаний, в рез. которых получают n возможных значений X_i и вычисляют

X_ср = Σ х_i / n

Принимают случайную вел. X_ср в качестве оценки искомой вел. а.