55. Критерии Байеса, Гурвица, Вальда и Сэвиджа.

1. Критерий, основанный на известных вероятностях условий.

Пусть известны вероятности q состояний природы П , j=1;n.Тогда пользуемся критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальная считается чистая стратегия A , при которой максимизируется средний выигрыш

= i=1;n

игрока А, т.е. определяется величина:

=

2. Если объективные оценки состояния природы получить невозможно, но вероятности природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятностными, т.е.

q =q =…….=q =

и оптимальной считают стратегию А , обеспечивающую максимальное среднее значение выигрыша

=

Если вероятности q состояний природы неизвестны и нельзя сделать о них никаких предположений, то пользуемся критериями Вальда, Гурвица, Сэвиджа.

3. Махмin-ный критерий Вальда.

Согласно этому критерию рекомендуется применять маxмin-ную стратегию, она находится из условия

L=

и совпадает с нижней чистой ценой игры.

4. Критерий максимума - оптимистический критерий. Считается, что природа наиболее благоприятна для игрока А и оптимальная стратегия находится из условия

m=

5. Критерий Гурвица – рекомендует выбирать стратегии, определ. по формуле:

S= ) i=1;m j=1;n

a -элемент платежной матрицы

[0;1]

Критерий поддерживается некоторой промежуточной позицией, которая учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При =1 этот критерий превращается в критерий Вальда. При =0 получается критерий максимума, выбираем из опыта или субъективных соображений.

6. Критерий Сэвиджа. Суть состоит в выборе такой стратегии, которая не позволяет допустить чрезмерно высокие потери. Этот критерий также как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, но пессимизм здесь понимается иначе. Тут рекомендуется всячески избегать большого риска. Согласно этому критерию выбирается стратегия, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение, т. е.

r=

r -элемент матрицы рисков.

58. Уравнение Колмогорова с предельной вероятностью состояния.

Рассмотр. математич. описание мартовского процесса на примере работы след. устройства:

Для работы устройства характерны индивидуальные состояния:

S₀ – устройство исправно и свободно;

S₁ – устройство работает;

S₂ – устройство неисправно.

Для анализа работы устройств удобно использовать геометрическую схему (граф состояния). Возможное состояние устройства б. изображать квадратиками, а возможные переходы– стрелками. Для нашего устройства граф состояний имеет след. вид:

Пусть система S нах. в сост. S_{i ,} из которого есть переход в сост. S_{j .} Эти значит, что на систему, которая нах. в состоянии S_i действует простейший поток событий, который приводит ее в состояние S_{j .} При появлении первого события этого потока система скачком переходит в сост. S_{j .} Для наглядности на графе состояния отмечают интенсивности потока. Такой граф называется размеченным.

Интенсивность потока, которая переводит систему из сост. S_i в состояние S_{j .} б. обозначать λ_ij, для λ₂₀ и λ₂₁ это интенсивности потока отремонтированных устройств.

λ₁₂ – это интенсивности потока поломок устройства; λ₀₁ – интенсивности потока поступающих заявок; λ₁₀ – интенсивности потока выполненных заявок.

Работа данного устройства мат. м. описать с пом. системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Пусть p_i(t) – это вероятность того, что система в момент времени T нах. в сост. S_i, тогда для нашего устройства имеем:

p_i(t)= p₀(t)+ p₁(t)+ p₂(t)=1

Правило построения диф уравнений Колмогорова:

Для того, чтобы записать уравнение Колмогорова i-го сост., следует в левой части ур. записать производную:

dp_i(t)/ dt

В правой части ур. записывается сумма произведений вероятности всех сост., из кот. идут стрелки в i-е состояние на интенсивности соотв. потоков и «–» суммарная интенсивность всех потоков, кот. выводят систему из i-го сост. умноженное на вероятность i-го сост.

Особый интерес предст. вер-ти системы p_i(t) в предельном режиме, т.е. при t → к бесконечности, кот. наз. предельными вероятностями. Предельные вероятности постоянны и показывают среднее время пребывания системы в данном состоянии.