52. Решение матричных игр 2 2

Игра 2 2 явл. наиболее простым случаем конечных игр. В этой игре оба игрока обладают только двумя стратегиями и если игра имеет седловую точку, то решение очевидно:

A\B	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

 Требуется найти оптимальные стратегии p, q и цену v. Очевидно, что в игре 2 2, не имеющей седловой точки, обе стратегии игроков явл-ся активными. Поэтому по теореме об активных стратегиях, если игрок А будет применять свою смешанную оптимальную стратегию, то независимо от действий игрока В он получит выигрыш = цене игры. Аналогично для игрока В

Для А: a₁₁*p₁+a₁₂*p₁=v=B₁

a₂₁*p1+a₂₂*p₂=v=B₂

p1+p2=1

Для В: a₁₁*q₁+a₁₂*q₁=v

a₂₁*q₁+a₂₂*q₂=v

q₁+q₂=1

Рассм. Решение для игрока А, В. С-ма координат оху. На оси абсцисс откладываем единичный отрезок(А₁А₂)

График

С₂ND₁-нижняя граница выигрыша. На прямых будем откладывать выигрыш игрока А при применении им стратегии А_i, в то время В отвечает своими чистыми стратегиями В₁ и В₂. Ординаты точки, лежащей на C₁D₁ показывают средний выигрыш игрока А при применении им своих смешанных стратегий (р₁;р₂), в то время как игрок В отвечает своей чистой стратегией В₁. На нижней границе найдем точку с max ординатой –N. Оптимальная стратегия q=(q₁;q₂) игрока В находится аналогично, для этого необходимо поменять местами игроков А и В, т.е. транспонировать платежную матрицу.

A\B	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Вместо макс. Значения нижней границы выигрыша находить мин. Значение верхней границы выигрыша.

53.Решение матричных игр 2 n и m 2.

Не доказывая отметим, что любая конечная игра m n имеет решение, в кот число активных стратегий каждого игрока не превосходит некоторые числа l, где l=min(m n) у игр 2 n и m 2 всегда имеется решение, содержащее не более 2 активных стратегий у каждого из игроков. Если эти активные стратегии будут найдены, то игры 2 n и m 2 превращаются в решение игры 2 2.

Решение игры 2 n.

1. графически

строится графическое изображение игры для игрока А

2. выделяется нижняя граница выигрыша и находится цена игры В, кот равна наибольшей ординате нижней границы.

3. Определяется пара стратегий, пересекающихся в точке оптимума. Эти стратегии явл. Активными стратегиями 2 игрока. Т.о. игра сведена к игре 2 2. Если в точке оптимума пересекается более 2 стратегий, то в качестве активных м.б. выбрана любая пара из них.

Решение игры m 2.

Осущ-ся аналогично, отметим только, что при решении игры m 2 выделяется верхняя граница выигрыша и на ней находится точка оптимума с меньшей ординатой.

1.Упростиь платежную матрицу

2.Решить данную игру сведением к СЛАУ

3. Можно решить матричную игру графически(строим прямые С₁В₁ и С₂В₂) (x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)-уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂). Составляем ур-ния относительно С₁В₁ и С₂В₂. Решаем с-му. X=p₂, p*₁=1-p*₂.

Необходимо найти оптимальные стратегии для игрока и для игрока В.