14 Построение ненормированного сигнального графа

15 Правила упрощения сигнального графа

Одним из возможных способов определения сигналов по построенному графу является его упрощение путем исключения входящих в него узлов, ветвей, контуров и петель. Так как граф является изображением системы линейных алгебраических уравнений, описывающих данную цепь, то подобная геометрическая процедура эквивалентна алгебраическому процессу исключения переменных из этой системы. В табл. 5.1 приведены простейшие правила таких преобразований.

Таблица 5.1

№ п/п	Исходный граф	Преобразованный граф	Характер преобразований
1			Передача последовательных ветвей
2			Передача параллельных ветвей
3			Исключение простого узла
4			Исключение простого узла
5			Исключение петли

Первые четыре правила очевидным образом вытекают из соответствующих правил алгебраических преобразований и вряд ли требуют дополнительного обоснования Поясним последнее правило — исключение петли. В системе уравнений исходного графа

Приводим первое уравнение к виду

Новая переменная x'₀ из последнего уравнения выражает x₀

Последовательности равенств для x'₀, x₀, x₃ и x₄ отвечает преобразованный граф, приведенный в табл. 5.1.

С помощью перечисленных правил сигнальный граф любой сложности можно преобразовать к простейшему виду, в котором выходной узел, соответствующий искомому сигналу, непосредственно связан с входными узлами-истоками (рис. 5.9).

Рис. 5.9

По нему искомый сигнал находят как взвешенную сумму переменных, отвечающих истокам графа.

Заметим, что в литературе описаны и другие правила преобразования графов. Необходимо заметить, что нахождение искомой величины путем преобразования графа является трудоемкой операцией, особенно если передачи ветвей выражены в алгебраической, а не в численной форме.

16 Анализ линейных эл цепей на эвм. Пакеты программ

17 Переходные процессы в rl-цепи при ступенчатом воздействии

Рассмотрим переходные процессы в RL-цепи на примере схемы, изображенной на рис. 4.1,а. Из рисунка видно, что переходные процессы в цепи будут возникать в моменты установки ключа К в положения 1 или 2.

При установке ключа в положение 1 происходит подключение к RL-цепи источника входного воздействия u(t) и начинается переходной процесс при нулевых начальных условиях. При установке ключа в положение 2 происходит отключение входного воздействия от цепи и замыкание индуктивностиL на резистор R и начинается переходной процесс при ненулевых начальных условиях.

 

Переходной процесс в RL-цепи при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1 (рис. 4.1,а). При этом в цепи возникает ток i, который создает падения напряжений на R и L.

Рис. 4.1. RL-цепь (а) и переходные процессы в ней при подключении входного воздействия (б) и при отключеии входного воздействия(в).

Согласно второго закона Кирхгофа приложенное напряжение u(t) уравновешивается падениями напряжений на R и L, т.е.

u(t)=uR + uL = iR + Ldi/dt.                                    (4.1)

Решение уравнения (4.1) можно записать в виде

i = iсв + iпр,                                                            (4.2)

где iсв – свободная составляющая тока, iпр – принужденная составляющая тока, обусловленная действием u(t).

Для определения свободной составляющей тока уравнение (4.1) необходимо приравнять к нулю, тогда будем иметь.

iсвR + Ldiсв/dt = 0.                                                    (4.3)

Выражение  (4.3) является однородным дифференциальным уравнением, общее решение которого имеет вид

iсв = А℮pt,                                                            (4.4)

где А – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, составленного из (4.3). R + pL = 0, откуда p = -R/L = -1/τ , тогда свободная составляющая тока (4.4) будет равна

iсв = А℮-t/τ,                                                            (4.5)

где τ = L/R [с] –постоянная времени RL-цепи.

Принужденную составляющую iпр найдем полагая, что u(t) = U = const, тогда в установившемся режиме iпр = U/R. Учитывая последнее выражение и (4.5) перепишем (4.2) в форме

i = А℮-t/τ + U/R.                                                    (4.6)

До подключения к цепи входного напряжения ток в цепи был равен нулю, тогда на основании первого закона коммутации (4.6) будет иметь вид

0 = A + U/R.

Отсюда находим постоянную интегрирования A = -U/R. Подставляя значение постоянной интегрирования в (4.6) находим закон изменения тока в RL-цепи при подключении к ней U = const

i = U/R(1 - ℮-t/τ).                                                    (4.7)

Учитывая (4.7) находим закон изменения напряжения на индуктивности

uL = Ldi/dt = U ℮-t/τ.                                            (4.8)

Графики зависимости i(t) и uL(t) изображены на рис. 4.1,б. Из рисунков и выражений (4.7) и (4.8) следует, что в момент подключения к индуктивности источника постоянного напряжения ток в цепи равен нулю, а напряжение на индуктивности достигает максимального значенияuL = U, т.е. индуктивность эквивалентна разрыву цепи.

С увеличением времени ток в цепи увеличивается, а напряжение uL уменьшается по экспоненциальному закону. При t = ∞ ток в цепи достигает максимального значения, а uL = 0, т.е. индуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку цепи.

Из выражений (4.7) и (4.8) видно, что длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи τ. Чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходной процесс. При t = τ  напряжение UL уменьшается в е раз. На практике принято считать, что переходной процесс заканчивается через время t = 3τ, т.к. при этом ток (4.7) достигает 95% от своего установившегося значения.