23. Методы построения переходных процессов в сау: классическийи операторный методы.

Наибольшее распространение получили:

1) классический метод (непосредственное решение д.у.)

2) операторный метод

3) метод трапециидальных ВЧХ

4) использование АВМ или ЭВМ

I Рассм. лин.д.у., описывающее движ-е САУ. D(p)*y(t)=k(p)U(t)+N(p)f(t) (1)

где p=d/dt D(p),k(p),N(p)-полиномы во времени

y(t)-выходная регулируемая величина; U(t)-управляющее воздействие; f(t)-возмущающее возд. Решение уравнения (1) имеет вид:y(t)= y_n(t)+ y_b(t);y(t)=полное решение уравнения (1)

y_n(t)-общее решение однородного д.у. D(p)y(t)=0. Эту составляющую часто называют переходной y_b(t)-возмущающая составляющая или частное решение, которое определяется правой частью ур-ия (1). Как известно общ. Решение уравнения (1) может быть представлено из корней характеристического уравнения D(p)=0

y_n(t)=c₁e^p1t+c₂e^p2t+…+ c_ne^pnt - для вещественной

y_n(t)= (c₁+c₂t)e^p2t –для двукратного вещ. корня

y_n(t)=c₁e^(+j)t+c₂e^(-j)t=A_i*e^1t*sin(_It+_i); c_i,A_i, _i – постоянные интегрирования. Полное решение (1) будет иметь вид y(t)=y_b(t)+ c₁e^p1t+c₂e^p2t+…+ c_ne^pnt (2) для отыскания постоянной интегрирования используем начальные условия t=0;y(0)=y₀;y^|(0)=y^|_0;

y^(n-1)(0)=y₀^(n-1) дифференцируем уравнение (2) (n-1) раз и используем н.у. получаем систему из n алгебраических уравнений, с n неизвестными, c₁, c₂, c₃,…, c_n, от куда и определ-я пост. интегрирования. II. ( операт. метод). Он основан на интегральном преобразовании Лапласа. В изображ. решен. диф. ур-я имеет вид: Y(p)=W(p)*U(p), и выполнив преобразование Лапласа получим оригинал т.е решение ур-я при нулевых начал. условиях.y(t)=L^-1{W(p)*U(p)}, различ. след. способы нахождения оригинала: 1) табличный, 2) по теореме разложения, 3) по теореме свертывания. Для определ. интеграла можно использовать теорему разложения. Например для случая разных веществ. корней хар-го ур-я: p₁, p₂, p₃,…, p_n, можем записать Y(p)= b_mp^m+…+b₁p+ b₀/ a_npⁿ+…+a₁p+a₀=K(p)/ a_n(p-p₁)(p-p₂)… (p-p_n) тогда решене исход. Ур-я динамики можно будет записать: y(t)= Σⁿ_i=1 (K(p_i)/D’(p_i))*e^pit, D’(p_i)=dD(p)/dp при p= p_i, где p_i- корни хар-го ур-я D(P)=0. Аналогичные ф-лы есть для случая кратных и комплексных корней. Теорема свертывания гласит если изобр. решения диф. ур-я представл. собой производные двух ф-ий для которых известны оригиналы L^-1 {W(p)}=ω(t), L^-1 {U(p)}=u(t), то ориг. Решения y(t) может быть вычислен с помощью интеграла свертки или интеграла Дюамеля. y(t)=∫^t₀W(τ)* U(t-τ)dτ. Интеграл Дюамеля связывает мгновенные значения вых и вх сигналов с учётом влияния предысторий. Функция w() отражает с которым предыдущее значение n(t-) участвует в формировании выходного сигнала. Достоинства:

1) операторные методы используют алгебраические выражения

2) постоянные интегрирования вычисляются автоматически из нулевых начальных условий

3) метод ориентирован на табличное решение

Недостатки:

1)необходимость нахождения корней