Билет 23 Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_{i b x}

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, … , x_n-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1. 

2. 

3. 

4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число eÎ [a, b], что если

и m = f(e), а a £ e £ b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

Билет 24Производная определённого интеграла

Формула Ньютона – Лейбница

Пусть в интеграле нижний предел

а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Билет 25 Замена переменной в определённом интеграле:

Теор: пусть 1) Функция ¦(t) непрерывна на [a,b]. 2) Отрезок [a,b] явл. множеством значений функ­ции t=g(x), xÎ[a,b], причём g'(x) непрерывна на [a,b]. 3) g(a)=a; g(b)=b. Тогда ò_a^b¦(t)dt=ò_a^b¦(g(x))g'(x)dx [1] -формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Док: пусть F(t) - некоторая первообразная функции ¦(t) на отрезке [a,b] (она существует в силу непре­рывности ¦(t)). Тогда ò_a^b¦(t)dt=F(b)–F(a) [2]. Функция F(t) дифференцируема на [a,b], поэтому дифференцируема и функция F(g(x)), отрезке [a,b], причем dF(g(x))/dx=F'(g(x))g'(x)= ¦(g(x))g'(x). Стало быть по формуле Ньютона-Лейбница, ò_a^b¦(g(x))g'(x)=F(g(b))–F(g(a))= F(b)–F(a) [3]

Сравнивая формулы [2] и [3], получаем [1]. Теор. док.

Вычисление определённого интеграла по частям:

Теор: Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула ò_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b–ò_a^bv(x)u'(x)dx [1]. - формула интегрирования по частям для определенного интеграла и записывают её еще в виде ò_a^budv=uv|_a^b–ò_a^bvdu. Док: заметим, что функция u(x) и v(x) явл. первообразной для функции (uv)'=u'v+uv', причем

эта функция непрерывна. => ò_a^b(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx= (u(x)v(x))|_a^b [2]. Т.к. u'(x)v(x), u(x)v'(x) - непрерывные на [a,b] функции, то определённые интегралы от этих функций сущ. и формулу [2] можно записать в форме [1]. Теор. док.