Формули, які спираються на квантори:

І ) ∀_х P(x) ↔ Ǝ_х P(x)

I I) Ǝ_х P(x) ↔ ∀_х P(x) закони де Моргана

I II) ∀_х( P(x)˄Q(х)) ↔∀_х P(x) ˄∀_хQ (х) дистрибутивні закони.

IV) Ǝ_х ( P(x)˅Q(х)) ↔ Ǝ_х P(x) ˅ Ǝ_хQ(х)

V) ∀_х P(x) ˅∀_х Q(х) → ∀_х( P(x) ˅ Q(х)) правосторонний дистрибутивний закон.

VI) Ǝ_х ( P(x)˄ Q(х)) → Ǝ_х P(x) ˄ Ǝ_х Q(х) лівосторонний дистрибутивний закон.

VII) Ǝ_х ( P(x)˅ Q(х)) ↔ Ǝ_х P(x) ˅ Ǝ_х Q(х) предикат Q не містить вільних

ходжень х.

VIII) ∀_х P(x) =∀_х P(y) Ǝ_х P(x) = Ǝ_х P(y);

IX) ∀_х( P(x) →Q) = Ǝ_х ( P(x) →Q) ; XI) Ǝ_х Ǝ_y P(x; y) = Ǝ _yƎ_х P(x; y) ;

X) ∀_х Ǝ_y P(x; y) → ∀_yƎ_х P(x; y) . X) ∀_х ∀_y P(x; y) = ∀_y∀_х P(x; y);

27. Інтерпитація формул логіки предикатів.

Інтерпретація формули F логіки предикатів складаєть­ся з елементів непорожньої предметної області D, значень всіх констант, функціональних символів і предикатів, що зустрічаються в F. Вказані значення задаються та­ким чином:

1. Кожній константі ставиться у відповідність деякий елемент з D.

2. Кожному n - місному функціональному символу ста­виться у відповідність відображення з Dⁿ y D. Тут Dⁿ =(х₁ ,х_г, ...,х_n ), х₁ ,...,х_n де є D.

3. Кожному n-місному предикату ставиться у відповідність відображення з Dⁿ в {I, X}.

Для кожної інтерпретації на області Б формула може одержати істиннісне значення І або X згідно з такими пра­вилами:

1. Якщо задані значення формул Р і Є, то істиннісні значення формул (¬Р),

(F V G), (F ʌ G), (F → G), (F G) одержують­ся за допомогою таблиць істинності відповідних логічних операцій.

2. Формула ( х)F одержує значення I, якщо F одержує зна­чення I для кожного х з D, у протилежному випадку вона одержує значення X.

3. Формула ( х)Р одержує значення I, якщо F одержує зна­чення І хоча б для одного х з D, у протилежному випадку вона одержує значення X.

4. Формула, що містить вільні змінні, не може одержати іс­тиннісне значення.

Основною задачою логіки предикатів є встановлення істинності предикатних формул. Оскільки автоматні формули містять терми , то інтерпретація формул логіки предикатів може бути здійснена з урахуванням конкретної області інтерпретації, яка є множиною всіх можливих значень термів, які входять у формулу.

Сутності області інтерпретації

Функції визначенні в області інтерпретації

Відношення визначенні в області інтерпритації

Синтаксис Семантика

К онстанти змінні

Ф ункціональні змінні

П редикатні символи

Логічна формула

28. Рівносильність формул логіки предикатів.

Означення: формули F i G є рівносильними в заданій інтерпретації, якщо на будь - якому наборі значень вільних змінних вони набувають однакових значень ( тобто якщо формули виражають у цій інтерпретації той самий предикат. Формули F i G є рівносильними на множині М, якщо вони рівносильні в усіх інтерпретаціях , заданих на множині М. Формули F i G є рівносильними , якщо вони рівносильні на всіх множинах ( тоді писатимемо F ≡ G ).

Для формул логіки предикатів зберігаються всі рівносильності та правила рівносильності перетворень логіки висловлень.

Крім того можна довести такі правила:

1. Перенесення квантора через заперечення.

( ∀_х)А(х) ≡ (Ǝ_х)А(х)

( Ǝ_х)А(х) ≡ ( ∀_х) А(х)

2. Винесення квантора за дужки:

(Ǝ_х)(А(х) ˄В) ≡( Ǝ_х)А(х) ˄В)

(∀_х)(А(х) ˄В) ≡(∀_х )А(х) ˄В)

(Ǝ_х)(А(х) ˅В) ≡( Ǝ_х)А(х) ˅В)

(∀_х)(А(х) ˅В) ≡(∀_х )А(х) ˅В)

3. Переставлення однойменних кванторів:

(∀_х)( ∀_у) А(х; у) ≡(∀_х)( ∀_у) А(х; у)

(Ǝ_х)( Ǝ_у) А(х; у) ≡(Ǝ_х)( Ǝ _у) А(х; у)

4. Перейменування зв’язних змінних.

Для того щоб мати можливість виконувати тотожні перетворення формул логіки предикатів треба визначити поняття рівносильності формул.

Формули α і β логіки предикатів називаються рівносильними або еквівалентними, якщо в логіці предикатів всіх вільних входжень предметних змінних в α, β елементної області інтерпритації Д призводить до висловлення , які мають ті самі значення істинності. Якщо формули не містять вільних змінних (замкнені) то означення спрощується.

Формули α і β рівносильні тоді і тільки тоді коли в ∀ інтерпретації значення істинності їх однакові.

Відношення рівносильності мають властивості:

1. Рефлективності,

2. Транзитивності,

3. Симетричності,

Для кожної формули логіки предикатів існує зведена формула.

Зведеною формулою для формули логіки предикатів називається така, рівносильна їй формула, яка містить інших операцій крім:

• Заперечення,

• Кон’юнкція, диз’юнкція,

• квантор все загальності,

• кантор існування.