19. Вивідність з гіпотези . Теорема дедукції.

Довести математичну теорему , це значить виходячи з її умови за певними правилами одержати висновок , у цьому випадку кажуть , що висновок теореми є « логічним наслідком» з умови , або що він виводиться з умов. Аналогічно проводяться будь – як доведення будують ланцюжок тверджень, кожне з яких є вивідним або слідуваним із раніше встановлених термінів «слідування» не з’ясовується , а вважається відомим і цілком зрозумілим з логіки. Математична логіка дає точне визначення поняття «вигідності».

Означення: кажуть що формула β(А₁, А₂, А₃,…,А_n), логічно слідує (є логічним наслідком) з формул α₁(А₁, А₂, А₃,…,А_n), α₂(А₁, А₂, А₃,…,А_n), …, α_m(А₁, А₂, А₃,…,А_n), якщо вона набуває значень істинності 1 для кожного такого набору, значень пропорційних змінних А₁, А₂, А₃,…,А_n при якому всі формули α_1, α₂ ,α_{m ,} мають значення істинності 1. При цьому формули α_1, α₂ ,α_{m ,}називають посилками

(припущеннями або гіпотезами) , а формулу β логічним висновком , логічним наслідком і записують α_1, α₂ ,…,α_{m ╞} β. Зазначимо , що для порожньої множини посилок маємо _╞ β.

Теорема : формула β є логічним висновком з посилок α₁(А₁, А₂, А₃,…,А_n), α₂(А₁, А₂, А₃,…,А_n), …, α_m(А₁, А₂, А₃,…,А_n), тоді і тільки тоді коли кон’юнкція α₁˄ α₂ ˄,…,˄α_m → β є тавтологією. Якщо серед посилок , є хоч одна хибна то будь – яка логічна формула β буде логічним наслідком цих посилок.

Теорема дедукції : нехай Г – множина формул, А і В формули , й Г,А├ В.

Тоді Г ├ А→В.

20 . Зв'язок між формулами висловлень і формулами числення висловлень. Несуперечність, повнота і розв’язність числення висловлень.

Множина теорем числення висловлень збігається з множиною тотожно – істинних формул логіки висловлень.

Теорема 1: будь-яка формула числення висловлень, що виводиться з порожньої системи гіпотез, є тотожно-істинною.

Теорема 2: якщо формула А числення висловлень є тотожно-істинною, то вона - вивідна.

Теорема 3: формула А числення висловлень є вивідною тоді і тільки тоді , коли вона – тотожно-істинна.

Властивість аксіоматичної теорії, яка полягає в тому, що коли формула А виражає логічний закон ( як, наприклад, тотожно-істинна формула), то вона є вивідною в цій теорії і називають повнотою аксіоматичної теорії ( або повнотою в широкому сенсі ).

З 2 - ої теореми випливає , що числення висловлень є повнотою аксіоматичною теорією.

Формальну аксіоматичну теорію називають несуперечливою, якщо не існує такої формули А, що одночасно виводяться А й Ā.

Теорема 4 : числення висловлень є несуперечливим.

Формальну аксіоматичну теорію називають повною у вузькому сенсі, якщо додання будь-якої формули, яка не виводиться, як схеми аксіом проводить до суперечливої теорії.

21. Застосування алгебри висловлень в теорії комбінаційних схем.

Комбінаційна схема – це технічний пристрій , який служить для перетворення дискретних повідомлень і має п – входів та m - виходів, при цьому сукупність вихідних сигналів в кожний дискретний момент часу однозначно визначається вхідними сигналами , які подають на вхід той самий момент часу.

Сигнали приймають значення 0 та 1.

Комбінаційні схеми бувають з елементами (базових), логічних елементів (схем), які реалізують найпростіші логічні операції:(заперечення, кон’юнкція,диз’юнкція). Умовні графічні позначення базових графічних елементів такі:

1. З аперечення: або

2. К он’юнкція ɠ і – не

3. Д из’юнкція або – не

Л огічний елемент , який заперечує , реалізує операції називається елемент НЕ або інвертором.

Л огічний елемент або називається відокремленням коли називається запереченням еквівалентності операції XOR сума за модулем 2.

І – НЕ називається операція штрих Шефера або стрілка Пірса.

Оскільки імплікація і еквівалентністю можна визначити через кон’юнкцію і диз’юнкцію, заперечення , то вони не приймають участь в базових елементах.

Кожній контактні схемі відповідає формула логічного висловлення і навпаки. Формулою , яка реалізується схемою називається формулою провідності схеми. Схема буде замкненою тоді і тільки тоді коли значення її функції

провідності = 1.

−Вважають дві контактні схеми рівносильні , якщо при одних і тих самих значеннях вхідних в силу контактів кожна з них проводить сигнал тоді і тільки тоді коли його проводить інша.