11. Тавтології.

Серед формул алгебри висловлень особливе місце займають ті формули значення істинності яких при всіх можливих значеннях пропорційних змінних (х,у,z,)= 1, тобто істинності. Іншими словами значення істинності цих формул при всі можливих інтерпретаціях =1такі форму називаються ТАВТАЛОГІЄЮ тотожно істиною.

Д ля позначення, що формула α є ╞ записується:

α(х,у,z)

А ₁ А₂ А₃ α

𝛼=А₁˅ А₂ ˄А₁

Означення: формула називається тотожно істиною (тавтологією або загальнозначущою) , якщо вона приймає значення «Істина» на всіх інтерпретаціях (наборах значень змінних).

Тотожно хибні формули (суперечність) – якщо формула не суперечністю і тавтологією , то вона називається нейтральною. Не тотожно істинною формулою будемо називати спростованою.

Перевірити , що формула є тавтологією , можна за допомогою таблиці істинності, але і існують інші методи:

- побудувати таблицю істинності цієї формули. Тоді, якщо у таблиці істинності на всіх інтерпретаціях функція приймає значення «Істина», то відповідне до формули міркування є тавтологією.

- застосувавши до формули тотожні перетворення, звести її за допомогою тотожних перетворень до виду одного з логічних законів. Якщо в результаті перетворень одержимо значення «Істина», то формула тавтологія.

12. Рівносильність формул алгебри висловлень.

Два висловлення називається рівносильними, якщо вони мають однакові логічні значення. Відношення рівносильності на множині висловлень є відношенням еквівалентності і воно розбиває її на два класи: клас істинних висловлень і клас хибних висловлень.

Аналогом поняття рівності виразів є поняття рівносильності формул логіки висловлень ( логічно еквівалентними ), якщо на всіх наборах значень змінних, що входять до їх складу, вони приймають рівні логічні значення.

13. Алгебра висловлень. Нормальні форми.

Алгебра висловлень , як арифметика вивчає числа, геометричну фігуру, так і математична логіка вивчає висловлення та дії над ними.

Алгебра висловлень ,як і звичайна алгебра користується буквальною символікою для призначення простих висловлень А, В, … Х, У. Якщо висловлення А істинне то вважають, що його значення істинності = 1, якщо хибне то = 0.

Нормальні форми:

Для теоретичних досліджень та практичних застосувань часто буває корисним подати форму у логіці висловлень у вигляді деякої стандартної форми.

Такими формами зокрема є:

1. Конюктивна нормальна форма КНФ. Форма яка записана у вигляді кон’юнкції диз’юнктів (α₁˄α₂˄α₃) кожний диз’юнкт елемента диз’юнкція α і є диз’юнкція пропорційних змінних , або їх заперечень. Може бути КНФ корисними при доведенні істинності формул. Оскільки істинність цієї формули означає істинність кожного диз’юнкта зокрема.

2. Диз’юнктивна нормальна формула , яка записується у вигляді диз’юнкції і кон’юнкції , кожна з яких є кон’юнкцією пропорційних змінних або їх заперечення.

х ˄у˄z у ˄z х ˄z

β₁ ˅ β₂ ˅ β₃

Теорема: КНФ є тавтологією (╞) тоді і тільки тоді коли кожний її елементарний кон’юнкт містить пропорційну зміну та її заперечення.

Теорема: ДНФ є тотожно хибною тоді і тільки тоді коли кожен її елементарний конюнкт містить хоча б одну пропорційну змінну разом з її запереченням.

Означення: достатньою кон’юнктивною (диз’юнктивною) нормальною формулою. Що до пропозиційнних змінних А₁, А₂, …,А_n називається така КНФ (ДНФ) в якій кожна елементарна диз’юнкція (кон’юнкція) містить всі пропорційні зміні, але тільки по одному разу або зі знаком заперечення, або без нього.