29. Нормальні форми в логіці предикатів. Визначення

Формула F в логіці предикатів знаходиться у випередже­ній нормальній формі (ВНФ) тоді і тільки тоді, коли вона може бути зображена у вигляді (Q₁x₁)...(Q_nx_n)(М), де кожне (Q_ix_i), і = 1, п, є або ( x), або ( х), а М — фор­мула, що не містить кванторів. Причому (Q₁x₁)...(Q_nx_n) називається префіксом, а

М — матрицею формули F.

Правило видалення квантора загальності

використовується для доведення істинності F(с), де с — довіль­но обраний елемент предметної області D, у якій справедливе xP(x).

Правило введення квантора загальності

стверджує істинність x Р(х), якщо доведена істинність F(с) для будь-якого с, тобто для всіх елементів с з розглянутої предметної області D.

Правило видалення квантора існування в істинній форму­лі х F(х) полягає в позначенні імені елемента с (конкретного або гіпотетичного), для якого F(с) істинне:

Правило введення квантора існування

дозволяє вирішити, що х F(х) є істинним, коли відомий де­який елемент с, для якого істинне F(с).

Крім наведених правил, у логіці предикатів у ході дедуктив­ного висновку можна використовувати всі правила, які засто­совуються для дедуктивних висновків у логіці висловлень.

30. Логічне слідування в логіці предикатів.

Поряд з поняттям логічної істинності (загальної значущості ) в логіці предикатів важливо відіграє поняття логічного слідування.

Означення: формула β логічно слідує з формули α, якщо в інтерпритації формула β набуває значення істинності 21» при кожному заміщенні всіх вільних входжень предметних змінних елементами множини Д при якому формула α набуває значення 1. і символічного відношення логічного слідування записується символічно α╞ (α – називається посилкою або припущенням, β- логічним наслідком.

Логічне слідування важливий компонент правильних міркувань. Міркування правильне тоді і тільки тоді коли між посилкою і висновком цього міркування має місце відношення логічного слідування.

В логіці предикатів розрізняють декілька способів формалізації відношення логічного слідування:

* Аксіоматичний,

* Природний ( натуральний),

* Секвенціальний

31. Відношення логічного слідування на множині предикатів.

Якщо предикати (х), (х),. . ., (x), визначені на множині М, то предикат Q(x) називається логічним наслідком предикатів (х), (х),. . ., (x), коли він набуває логічне значення «1» для всіх тих х множини М, для яких кожен із предикатів (х), (х),. . ., (x) приймає логічне значення «1». Записується

(х), (х),. . ., (x)׀= Q(x), х є М.

Як і логіці висловлень, користуються також терміном « з предикатів

(х), (х),. . ., (x) логічно випливає предикат Q(x)».

Між поняттями тотожної істинності, логічного наслідку і рівносильності для одномісних предикатів, визначених на множині М, існує зв’язок , який встановлюється на основі теорем, доведення яких безпосередньо одержується з означень.

Теорема 1: З предикатів (х), (х),. . ., (x) логічно випливає предикат Q(x) тоді і тільки тоді, коли предикат (х)˄ (х)˄ . . .˄ (x)→ Q(x),х є М тотожно істинний.

Наслідок 1: З предикатів (х), (х),. . ., (x) логічно випливає предикат Q(x) тоді і тільки тоді, коли з предиката (х)˄ (х)˄ . . .˄ (x) логічно випливає предикат Q(x).

Теорема 2: З предиката Р(х) логічно випливає предикат Q(x) тоді і тільки тоді, коли область істинності предиката Р(х) є підмножиною області істинності предиката Q(x).

Теорема 3: З предиката Р(х) логічно випливає предикат Q(x) тоді і тільки тоді, коли висловлення ˅ х є М : Р(х) → Q(x) істинне.

Теорема 4 : Предикати Р(х) і Q(x) рівносильні тоді і тільки тоді, коли кожний є логічним наслідком іншого.

Якщо предикати Р(х) і Q(x), визначені на множині М,такі,що предикат Q(x) є логічним наслідком предиката Р(х), то предикат Q(x) називається необхідною умовою для предиката Р(х), а предикат Р(х) – достатньою умовою для предиката Q(x). Необхідна умова не може бути достатньою, а достатня – необхідною.