- •1 Понятие эл. Цепи. Ток, мощность, напряжение
- •1. Резистор (идеальное активное сопротивление).
- •2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)
- •3. Конденсатор (идеальная емкость)
- •2 Элементы сопротивления, индуктивности и ёмкости
- •3 Геометрическая структура эл. Цепи. Топологический граф. Уравнение Кирхгофа.
- •Топологические матрицы
- •Первый закон Кирхгофа
- •Схемы соединения трехфазных систем
- •Соединение в звезду
- •Соединение в треугольник
- •4 Метод контурных токов
- •5 Метод узловых напряжений (потенциалов)
- •6 Принцип суперпозиций
- •7 Принципы взаимности и компенсации Принцип взаимности
- •Принцип компенсации
- •Теорема вариаций
- •10 Принцип Дуальности
Теорема вариаций
Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление.
Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости и известны.
Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны и (рис. 9,б). На основании принципа компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.
Для этой цепи можно записать
откуда
и .
Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.
10 Принцип Дуальности
В законах электрических цепей и описывающих цепи выражениях можно обнаружить сходство соотношений, записанных для токов и напряжений, называемое дуальностью: при взаимной замене токов и напряжений обнаруживается своеобразная симметрия. Дуальными являются пары физических величин, топологических понятий и законов цепей, соответствующие друг другу в дуальных соотношениях. Так, индуктивность характеризуется компонентным уравнением u = L di/dt, связывающим напряжение u и производную тока di/dt. Дуальным будет уравнение, выражающее ток элемента i через производную напряжения du/dt. Это — связь i = C du/dt для емкости. Отсюда следует, что L и C являются дуальными элементами. Также дуальны друг другу источник ЭДС и источник тока. Дуальны и топологические понятия контура и сечения, первый и второй законы Кирхгофа, формулируемые для дуальных друг другу топологических структур. Приведем некоторые основные дуальные величины, понятия и законы (перечень этот может быть продолжен):
контур сечение; ветви дерева ветви связей;
параллельное последовательное соединения;
разрыв соединение накоротко.
Если уравнения для токов и напряжений одной цепи тождественны уравнениям для токов и напряжений другой цепи при замене в них всех величин на дуальные, такие две цепи являются дуальными. Узлам в дуальной цепи соответствуют элементарные ячейки исходной цепи. Дуальными могут быть только планарные цепи.
Принцип дуальности позволяет распространить результаты, полученные при анализе одних цепей, на дуальные соотношения в дуальных им цепях. Для нахождения структуры дуальной цепи можно воспользоваться преобразованием уравнений исходной цепи, заменяя входящие в них величины на дуальные. В простейших случаях дуальную цепь можно получить, применяя принцип непосредственно к топологическим понятиям и элементам. Так, последовательному соединению источника и индуктивности в дуальной цепи отвечает параллельное соединение источника тока и емкости.
Узлу 1 исходной цепи (рис. 6.1, а) в дуальной цепи (рис. 6.1, б) отвечает элементарная ячейка 1, включающая источник тока J и емкость C1, дуальную индуктивности L1.
Рис. 6.1
Узлу 2 исходной цепи отвечает в дуальной цепи ячейка 2. Нетрудно проверить, что все топологические характеристики второй цепи (см. рис. 6.1, б) тождественны таковым для дуальных величин исходной цепи. Обе цепи описываются и дуальными системами уравнений:
Конец формы